Pertidaksamaan Linear

         Blog Koma - Pertidaksamaan linear merupakan salah satu jenis pertidaksamaan khusus. Agar mudah dalam menyelesaikan pertidaksamaan linear, sebaiknya kita kuasai dulu materi "sifat-sifat pertidaksamaan" dan "pertidaksamaan secara umum". Di sini teori pertidaksamaan linear yang ditampilkan cukup sederhana, karena penekanannya pada contoh-contoh soal.
         Pertidaksamaan Linear sudah dipelajari ketika di SMP, dan dilanjutkan lagi di tingkat SMA. Untuk tingkat SMA, materi pertidaksaman linear lebih kompleks terutama dari tipe soal-soalnya dibandingkan dengan tingkat SMP sebelumnya. Pertidaksamaan linear juga mengikuti penyelesaian bentuk umum pertidaksamaan.


Bentuk Umum dan penyelesaian pertidaksamaan linear
       Pertidaksamaan linear merupakan pertidaksamaan dengan pangkat variabelnya satu.

$\clubsuit $ Bentuk umum pertidaksamaan linear
$ ax + b < 0, \, ax + > 0, \, ax + b \leq 0, \, ax + b \geq 0 $

$\clubsuit $ Penyelesaian pertidaksamaan linear dapat langsung menggunakan sifat-sifat pertidaksamaan .
(tidak perlu menggunakan langkah-langkah umum )

Contoh :
1). Tentukan semua nilai $ x $ yang memenuhi pertidaksamaan berikut!
a). $ 2x - 1 < 0 \, $ b). $ -x + 3 \leq 0 \, $ c). $ 3x + 2 \leq 4x + 3 $
Penyelesaian :
Kita langsung menggunakan sifat-sifat pertidaksamaan :
a). $ 2x - 1 < 0 \, $
$ \begin{align} 2x - 1 & < 0 \\ 2x & < 1 \, \, \, \, \text{(bagi 2, tanda ketaksamaan tetap)} \\ x & < \frac{1}{2} \end{align} $
Jadi, HP = $ \{ x < \frac{1}{2} \} $
b). $ -x + 3 \leq 0 $
$ \begin{align} -x + 3 & \leq 0 \\ -x & \leq -3 \, \, \, \, \text{(kali -1, tanda ketaksamaan dibalik)} \\ x & \geq 3 \end{align} $
Jadi, HP = $ \{ x \geq 3 \} $
c). $ 3x + 2 \leq 4x + 3 $
$ \begin{align} 3x + 2 & \leq 4x + 3 \\ 3x - 4x & \leq 3 - 2 \\ -x & \leq 1 \, \, \, \, \text{(kali -1, tanda ketaksamaan dibalik)} \\ x & \geq -1 \end{align} $
Jadi, HP = $ \{ x \geq -1 \} $

2). Tentukan himpunan penyelesaian dari $ x - 1 < 2x + 3 < 2 - x $ !
Penyelesaian :
$ \spadesuit $ Pertidaksamaan dibagi menjadi dua kasus :
i). $ x - 1 < 2x + 3 $
$ \begin{align} x - 1 & < 2x + 3 \\ x - 2x & < 3 + 1 \\ -x & < 4 \, \, \, \, \text{(kali -1, tanda ketaksamaan dibalik)} \\ x & > -4 \end{align} $
HP1 = $\{ x > -4 \} $
ii). $ 2x + 3 < 2 - x $
$ \begin{align} 2x + 3 & < 2 - x \\ 2x + x & < 2 - 3 \\ 3x & < -1 \, \, \, \, \text{(bagi 3, tanda ketaksamaan tetap)} \\ x & < -\frac{1}{3} \end{align} $
HP2 = $\{ x < -\frac{1}{3} \} $
$ \spadesuit $ Himpunan penyelesaian adalah nilai $ x $ yang memenuhi HP1 dan HP2 (irisan kedua himpunan karena harus memenuhi kedua pertidaksamaan)
$ HP = HP1 \cap HP2 = \{ x > -4 \} \cap \{ x < -\frac{1}{3} \} = \{ -4 < x < -\frac{1}{3} \} $
untuk irisan dua himpunan, baca materi "pertidaksamaan secara umum".
Jadi, himpunan penyelesaiannya (HP) adalah $ \{ -4 < x < -\frac{1}{3} \} $

3). Jika diketahui $ x - 2 \leq 0 \, $ dan $ x - 1 > 0 , \, $ maka $ \frac{x^2-4}{x} \, $ adalah ...?
Penyelesaian :
$\clubsuit $ Selesaikan masing-masing pertidaksamaan
*). $ x - 2 \leq 0 \rightarrow x \leq 2 \, $ ....(HP1)
*). $ x - 1 > 0 \rightarrow x > 1 \, $ ....(HP2)
$\clubsuit $ Nilai $ x \, $ yang memenuhi adalah irisan kedua HP
$ HP = HP1 \cap HP2 = \{ x \leq 2 \} \cap \{ x > 1 \} = \{ 1 < x \leq 2 \} $
$\clubsuit $ Kuadratkan kedua ruas dari solusinya
$ \begin{align} 1 < & x \leq 2 \\ 1^2 < & x^2 \leq 2^2 \\ 1 < & x^2 \leq 4 \, \, \, \, \text{(kurangkan 4)} \\ 1-4 < & x^2 - 4 \leq 4 - 4 \\ -3 < & x^2 - 4 \leq 0 \end{align} $
$\clubsuit $ Diperoleh interval nilai berikut ,
$ \{ 1 < x \leq 2 \} \, $ nilai terbesar $ x \, $ adalah 2 dan terkecilnya 1
$ \{ -3 < x^2 - 4 \leq 0 \} \, $ nilai terbesar $ x^2 - 4 \, $ adalah 0 dan terkecilnya -3
Dari interval di atas, diperoleh nilai $ \frac{x^2-4}{x} \, $ :
Nilai terbesarnya dari $ \frac{x^2-4}{x} = \frac{0}{1} = 0 $
Nilai terkecilnya dari $ \frac{x^2-4}{x} = \frac{-3}{1} = -3 $
Jadi, interval nilai $ \frac{x^2-4}{x} \, $ adalah $ -3 < \frac{x^2-4}{x} \leq 0 $

4). Nilai terkecil $ x \, $ yang memenuhi pertidaksamaan $ 2x - \frac{3x}{4} \leq \frac{3x}{2} + \frac{1}{4} \, $ adalah .... ?
Penyelesaian :
$ \spadesuit $ Menyelesaikan pertidaksamaannya
$ \begin{align} 2x - \frac{3x}{4} & \leq \frac{3x}{2} + \frac{1}{4} \, \, \, \, \text{(kalikan 4)} \\ 8x - 3x & \leq 6x + 1 \\ 5x & \leq 6x + 1 \\ 5x - 6x & \leq 1 \\ -x & \leq 1 \, \, \, \, \text{(kalikan -1, tanda ketaksamaan dibalik)} \\ x & \geq -1 \end{align} $
$ \spadesuit $ Solusinya $ x \geq -1 \, $ artinya nilai terkecil $ x \, $ adalah $ -1 $ .
Jadi, nilai terkecil $ x \, $ adalah $ -1 $ .

5). Nilai $ x \, $ yang memenuhi pertidaksamaan $ -3 < x - 2 < 0 \, $ dan $ 2 < x + 2 < 7 \, $ adalah ....?
Penyelesaian :
$ \clubsuit $ Menyelesaikan pertidaksamaan masing-masing
*). pertidaksamaan pertama :
$ \begin{align} -3 < x & - 2 < 0 \, \, \, \, \text{(tambahkan 2)} \\ -3 + 2 < x & - 2 + 2 < 0 + 2 \\ -1 < & x < 2 \, \, \, \, \text{....(HP1)} \end{align} $
*). pertidaksamaan kedua :
$ \begin{align} 2 < x & + 2 < 7 \, \, \, \, \text{(kurangkan 2)} \\ 2 - 2 < x & + 2 - 2 < 7 - 2 \\ 0 < & x < 5 \, \, \, \, \text{....(HP2)} \end{align} $
*). Nilai $ x \, $ yang memenuhi adalah irisannya :
$ HP = HP1 \cap HP2 = \{ -1 < x < 2 \} \cap \{ 0 < x < 5 \} = \{ 0 < x < 2 \} $
Jadi, solusinya $ \{ 0 < x < 2 \} $

6). Pertidaksamaan $ 2a - \frac{x+1}{2} < ax + 1 \, $ dipenuhi oleh $ x > 1 \, $ . Tentukan nilai $ a $ ?
Penyelesaian :
$\spadesuit $ Solusinya $ x > 1 , \, $ artinya akar dari pertidaksamaan pertidaksamaan adalah $ x = 1 $ .
$\spadesuit $ Substitusi $ x = 1 \, $ ke pertidaksamaan :
$ \begin{align} x = 1 \rightarrow 2a - \frac{x+1}{2} & < ax + 1 \\ 2a - \frac{1+1}{2} & = a.1 + 1 \\ 2a - \frac{2}{2} & = a + 1 \\ 2a - 1 & = a + 1 \\ 2a - a & = 1 + 1 \\ a & = 2 \end{align} $
Jadi, nilai $ a = 2 $

         Demikian pembahasan tentang pertidaksamaan linear beserta variasi contohnya. Silahkan juga baca materi pertidaksamaan kuadrat, pertidaksamaan pecahan, pertidaksamaan bentuk akar, dan pertidaksamaan bentuk nilai mutlak.

Sifat-sifat Pertidaksamaan

         Blog Koma - Sifat-sifat Pertidaksamaan merupakan bagian penting dalam menyelesaikan pertidaksamaan itu sendiri. Sebelumnya telah dibahas tentang langkah-langkah umum dalam menyelesaiakan pertidaksamaan dalam artikel "Pertidaksamaan secara Umum". Namun sebelum melangkah ke penyelesaian tersebut, kita harus tau dulu tentang sifat-sifat pertidaksamaan. Berikut penjelasan tentang sifat-sifat pertidaksamaan yang dimaksud.
Sifat-sifat Pertidaksamaan
       Untuk $ a, b, c, d, \in R, \, $ berlaku sifat-sifat pertidaksamaan berikut :
1). Jika $ a < b , \, $ maka $ b > a $
2). Jika $ a < b \, $ dan $ b < c , \, $ maka $ a < c \, $ (sifat transitif)
3). Jika $ a < b \, $ dan $ c \in R , \, $ maka $ a + c < b + c. \, $
(Menambahkan kedua ruas dengan bilangan yang sama tidak mengubah tanda ketaksamaan)
4). Jika $ a < b \, $ dan $ c > 0 , \, $ maka $ ac < bc . \, $
(Mengalikan kedua ruas dengan bilangan positif yang sama tidak mengubah tanda ketaksamaan)
5). Jika $ a < b \, $ dan $ c < 0 , \, $ maka $ ac > bc . \, $
(Mengalikan kedua ruas dengan bilangan negatif yang sama akan mengubah tanda ketaksamaan)
6). Jika $ a < b \, $ dan $ c < d , \, $ maka $ a + c < b+d $
7). Jika $ \frac{a}{b} < 0 \, $ dan $ b \neq 0 , \, $ maka $ a b < 0 $
8). Jika $ \frac{a}{b} > 0 \, $ dan $ b \neq 0 , \, $ maka $ a b > 0 $
9). Untuk semua $ a \in R , \, $ berlaku $ a^2 \geq 0 $

Catatan :
*). Sifat 3 : jika setiap ruas ditambahkan/dikurangkan bilangan yang sama, maka tanda ketaksamaannya tetap (tidak berubah)
*). Sifat 4 dan 5 : Jika setiap ruas dikali/dibagi bilangan positif yang sama, maka tanda ketaksamaan tetap. dan jika dikali/dibagi bilangan negatif yang sama, maka tanda ketaksamaan berubah.
*). Untuk tanda ketaksamaan lihat artikel "Pertidaksamaan secara Umum"

Contoh
1). Diketahui $ a < b \, $ dan $ b < c , \, $ cek pernyataan berikut benar atau salah?
i). $ a < c $
ii). $ a + 2 < b + 2 $
iii). $ 2a < b + c $
iv). $ a + b < 2c $
v). $ ab < bc $
vi). $ a - d < c - d $
Penyelesaian :
i). $ a < c \, $ benar berdasarkan sifat 2.
ii). $ a + 2 < b + 2 \, $ benar berdasarkan sifat 3.
iii). dari $ a < b \, $ dan $ a < c $ , berdasarkan sifat 6 berlaku :
$ a + a < b + c \rightarrow 2a < b + c \, $
artinya benar untuk $ 2a < b + c $
iv). dari $ a < c \, $ dan $ b < c \, $ berdasarkan sifat 6 berlaku :
$ a + b < c + c \rightarrow a + b < 2c \, $ (benar)
v). Berdasarkan sifat 4, jika $ b > 0 $ maka $ a < c \rightarrow ab < bc $ . Akan tetapi nilai $ b $ di bagian ini bisa positif atau bisa juga negatif, sehingga $ ab < bc \, $ belum tentu benar.
vi). Berdasarkan sifat 3, $ a < c \rightarrow a + (-d) < c + (-d) \rightarrow a - d < c - d $

2). Apakah $ a + b > \sqrt{ab} \, $ benar ?
Penyelesaian :
*). Berdasarkan sifat 9 : setiap bilangan dikuadratkan hasilnya positif atau nol.
$\begin{align} (\sqrt{a} - \sqrt{b})^2 & \geq 0 \\ a + b - 2\sqrt{ab} & \geq 0 \\ a + b & \geq 2\sqrt{ab} \end{align} $
Karena $ a + b \geq 2\sqrt{ab} , \, $ pasti berlaku juga $ a + b \geq \sqrt{ab} $
Jadi, pernyataan $ a + b \geq \sqrt{ab} \, $ benar.

3). Jika $ a > b \, $ dan $ c > d , \, $ apakah $ ac + bd > ad + bc \, $ benar ?
Penyelesaian :
$\spadesuit $ Nolkan ruas kanan pertidaksamaan
*). $ a > b \rightarrow a - b > 0 \, $ (psositif)
*). $ c > d \rightarrow c - d > 0 \, $ (positif)
$\spadesuit $ Kedua bilangan dikalikan, positif kali positif hasilnya positif
$\begin{align} (a-b)(c-d) & > 0 \\ ac - ad - bc + bd & > 0 \\ ac + bd & > ad + bc \end{align} $
Jadi, benar untuk $ ac + bd > ad + bc \, $

4). Jika $ x < -2 \, $ dan $ y > 3, \, $ maka nilai $ y - x \, $ adalah ... ?
Penyelesaian :
$ \clubsuit $ Kalikan $ - 1 \, $ pada $ x < -2 \, $ dengan tanda ketaksamaan dibalik
$ x < -2 \rightarrow x . (-1) > -2. (-1) \rightarrow -x > 2 $
$ \clubsuit $ Berdasarkan sifat 6 :
$ y > 3 \, $ dan $ -x > 2 , \, $ berlaku $ y + (-x) > 3 + 2 \rightarrow y - x > 5 $
Jadi, nilai $ y - x \, $ adalah lebih besar dari 5.

5). Jika $ -4 < y < 5 , \, $ maka nilai $ y - 4 \, $ adalah ....
Penyelesaian :
$ \spadesuit $ Berdasarkan sifat 3 : Semua ruas ditambahkan (-4)
$\begin{align} -4 < y & < 5 \\ -4 +(-4) < y & + (-4) < 5 + (-4) \\ -8 < y & - 4 < 1 \end{align} $
Jadi nilai $ y - 4 \, $ adalah $ -8 < y - 4 < 1 $
(terletak antara -8 sampai 1 )

6). Jika $ -3 < x < 4 , \, $ maka nilai $ (x-2)^2 \, $ adalah ... ?
Penyelesaian :
$ \clubsuit $ Berdasarkan sifat 3 : Semua ruas ditambahkan (-2)
$\begin{align} -3 < & x < 4 \\ -3 + (-2) < x & + (-2) < 4 + (-2) \\ -5 < x & -2 < 2 \end{align} $
Artinya nilai $ x - 2 \, $ terletak antara -5 sampai 2, sehingga :
nilai terkecil dari $ (x - 2)^2 = 0^2 = 0 \, $ dan
nilai terbesarnya $ (x-2)^2 = (-5)^2 = 25 $
Jadi, nilai $ (x-2)^2 \, $ adalah $ 0 \leq (x-2)^2 < 25 $

Pertidaksamaan secara Umum

         Blog Koma - Pertidaksamaan adalah kalimat matematika yang memuat tanda ketaksamaan. Tanda ketaksamaan terdiri dari : $ <, \, >, \, \leq , \, \geq, \, \neq . \, $ Pertidaksamaan termasuk materi yang luas cakupannya , diantaranya pertidaksamaan linear, pertidaksamaan kuadrat, pertidaksamaan pecahan, pertidaksamaan bentuk akar, pertidaksamaan bentuk nilai mutlak, pertidaksamaan eksponen, pertidaksamaan logaritma, dan lainnya. Salah satu hal penting yang harus dikuasai untuk mampu menyelesaikan pertidaksamaan adalah tentang sifat-sifat pertidaksamaan.

Penjelasan Tanda Ketaksamaan
       Pada pertidaksamaan memuat tanda ketaksamaan : $ <, \, >, \, \leq , \, \geq, \, \neq . \, $ Berikut penjelasannya masing-masing,

$\spadesuit $ Tanda $ < \, $ dibaca kurang dari atau lebih kecil
$ x < 2 \, $ artinya nilai $ x $ yang memenuhi harus kurang dari 2 dan dua tidak boleh ikut.
Himpunannya : $ x = \{ ...,-1,0,1 \} \, $ ,
garis bilangannya :
$\spadesuit $ Tanda $ \leq \, $ dibaca kurang dari sama dengan atau lebih kecil sama dengan
$ x \leq 2 \, $ artinya nilai $ x $ yang memenuhi harus lebih kecil dan sama dengan dari 2 (dua boleh ikut).
Himpunannya : $ x = \{ ...,-1,0,1,2 \} \, $ ,
garis bilangannya :
$\spadesuit $ Tanda $ > \, $ dibaca lebih dari atau lebih besar
$ x > -3 \, $ artinya nilai $ x $ yang memenuhi harus lebih besar dari -3 (-3 tidak boleh ikut).
Himpunannya : $ x = \{ -2,-1,0,1,... \} \, $ ,
garis bilangannya :
$\spadesuit $ Tanda $ \geq \, $ dibaca lebih dari sama dengan atau lebih besar sama dengan
$ x \geq -3 \, $ artinya nilai $ x $ yang memenuhi harus lebih besar dan sama dengan dari -3 (-3 boleh ikut).
Himpunannya : $ x = \{ -3,-2,-1,0,1,... \} \, $ ,
garis bilangannya :
Berikut beberapa contoh pertidaksamaan :
$2x +1 < 0, \, \frac{3x+4}{x-2} \geq 6 , \, x^2 - 3x + 4 > 0 , $
$ \sqrt{2x+5} \leq x - 1 , \, | x+5| - 3x \geq 7 , \, x^2 - x + 2 \neq 0 $

Penyelesaian Pertidaksamaan
       Penyelesaian yang dimaksud adalah semua nilai variabel yang ada (misal $x $) yang memenuhi pertidaksamaan tersebut. Misal, penyelesaian pertidaksamaan $ -2x + 4 < 0 \, $ adalah $ x > 2, \, $ artinya untuk semua nilai $ x $ yang memenuhi $ x > 2 \, $ pasti juga akan memenuhi $ -2x+4 < 0 . \, $ Contoh, $ x = 3 \, $ , maka $ -2.(3) + 4 = -2 < 0 $
Cara menentukan tanda $+$ atau $ - $ pada garis bilangan
       Untuk menentukan tanda $ + $ atau $ - $ pada garis bilangan, nolkan ruas kanan pertidaksamaan, kemudian pilih angka dari selang yang terbentuk pada garis bilangan dan substitusikan ke persamaan yang terbentuk di ruas kiri.
Contoh
1). $ 2x - 1 \geq 3 \rightarrow 2x - 4 \geq 0 $
akar-akarnya : $ 2x - 4 = 0 \rightarrow 2x = 4 \rightarrow x = 2 $
garis bilangannya :
*). Pilih salah satu angka di sebelah kiri 2, misalkan nol
$ x = 0 \rightarrow 2x - 4 = 2.0 - 4 = -4 $
hasilnya negatif, artinya tanda di sebelah kiri 2 negatif($-$)
*). Pilih salah satu angka di sebelah kanan 2, misalkan 4
$ x = 4 \rightarrow 2x - 4 = 2.4 - 4 = 4 $
hasilnya positif, artinya tanda di sebelah kanan 2 positif($+$)
Garis bilangan dan tandanya :
2). Pertidaksamaan $ 2x^2 + 2x - 1 < 1 - x $
*). Menentukan akar-akar, nolkan ruas kanan.
$ \begin{align} 2x^2 + 2x - 1 & < 1 - x \\ 2x^2 + 2x - 1 + x - 1 & < 0 \\ 2x^2 + 3x - 2 & < 0 \\ (2x-1)(x+2) & = 0 \\ x = \frac{1}{2} \vee x & = -2 \end{align} $
Garis bilangannya
*). Menentukan tandanya
Terbentuk tiga selang/interval, pilih satu angka pada setiap selang dan substitusi ke $ (2x-1)(x+2) $
Interval pertama : $ -\infty < x < -2 \, $ , pilih $ x = -3 $
$ x = - 3 \rightarrow (2x-1)(x+2) = (2.(-3)-1)(-3+2) = -7 . (-1) = 7 \, $ (tanda $+$)
Interval kedua : $ -2 < x < \frac{1}{2} \, $ , pilih $ x = 0 $
$ x = 0 \rightarrow (2x-1)(x+2) = (2.(0)-1)(0+2) = -1 . 2 = -2 \, $ (tanda $-$)
Interval ketiga : $ \frac{1}{2} < x < \infty \, $ , pilih $ x = 1 $
$ x = 1 \rightarrow (2x-1)(x+2) = (2.(1)-1)(1+2) = 1 . 3 = 3 \, $ (tanda $+$)
Garis bilangan dan tandanya :
Catatan :
*). Biasanya tanda pada semua interval selang-seling (misalkan +, - , + , - , atau -, + , - , + )
*). Untuk penjelasan yang lebih mendalam tentang garis bilangan, silahkan baca artikelnya pada "Cara Menentukan Tanda + atau - pada Garis Bilangan"


Langkah-langkah umum menyelesaiakan pertidaksamaan
       Langkah - langkah berikut dapat digunakan untuk menyelesaikan semua jenis pertidaksamaan :

$\spadesuit $ Solusi Umum (HP1) :
1). Nolkan ruas kanan
2). Tentukan akar-akar (pembuat nolnya) dari pertidaksamaan dengan cara mengubah ketaksamaan menjadi sama dengan (=) lalu difaktorkan.
3). Tuliskan akar-akar pada garis bilangan dan tentukan tanda setiap intervalnya ( $+$ atau $ - $ setiap daerah)
4). Arsir daerah yang sesuai ( $ > $ untuk $ + $ , dan $ < $ untuk $ - $ )
5). Tulis himpunan penyelesaiannya (HP1)

$ \spadesuit $ Solusi syarat-syarat jika ada ( HP2 ).
*). caranya sama dengan solusi umum di atas
*). solusi syarat biasanya ada pada pertidaksamaan pecahan, bentuk akar, dan logaritma.

$\spadesuit $ Solusi totalnya adalah irisan HP1 dan HP2

Contoh
1). Nilai $ x $ yang memenuhi pertidaksamaan $ 2x - 1 < 7 \, $ adalah ....?
Penyelesaian :
*). Menentukan akar-akarnya
$ 2x - 1 < 7 \rightarrow 2x - 1 = 7 \rightarrow 2x = 8 \rightarrow x = 4 $
*). garis bilangan dan mengarsir daerahnya (diminta $ < $ , arsir negatif)
Jadi, himpunan penyelesaian HP $ = \{ x < 4 \} $

2). Pertidaksamaan $ ax - 3 > 15 \, $ mempunyai penyelesaian $ x > 6 $.
Nilai $ a \, $ yang memenuhi adalah ....?
Penyelesaian :
Cara I :
$\clubsuit $ Solusi dari pertidaksamaan diperoleh dari akar-akar pertidaksamaan dengan mengubah tanda ketaksamaan menjadi sama dengan.
$ \clubsuit $ Solusinya $ x > 6 \, $ artinya akar-akarnya adalah $ x = 6 $
Substitusi $ x = 6 $ ke persamaan :
$ \begin{align} x = 6 \rightarrow ax - 3 & > 15 \\ a.6 - 3 & = 15 \\ 6a & = 15 + 3 \\ 6a & = 18 \\ a & = 3 \end{align} $
Jadi, nilai $ a = 3 $

Cara II :
$\clubsuit $ Modifikasi pertidaksamaannya
$ ax - 3 > 15 \rightarrow ax > 18 \rightarrow x > \frac{18}{a} $
$\clubsuit $ Solusinya $ x > 6 $
$ \left. \begin{array}{c} x > \frac{18}{a} \\ x > 6 \end{array} \right\} \, $ bentuknya sama
Sehingga $ \frac{18}{a} = 6 \rightarrow a = \frac{18}{6} = 3 $
Jadi, nilai $ a = 3 $

3). Pertidaksamaan $ 3x - a < \frac{5x-2}{3} - \frac{ax-5}{4} \, $ mempunyai penyelesaian $ x < 1 $ .
Tentukan nilai $ a ? $
Penyelesaian :
$ \spadesuit $ Solusinya $ x < 1 \, $ , artinya akarnya adalah $ x = 1 $
$ \spadesuit $ Substitusi $ x = 1 $ ke pertidaksamaan dan ubah ketaksamaannya menjadi sama dengan.
$ \begin{align} x = 1 \rightarrow 3x - a & < \frac{5x-2}{3} - \frac{ax-5}{4} \\ 3.1 - a & = \frac{5.1-2}{3} - \frac{a.1-5}{4} \\ 3 - a & = \frac{3}{3} - \frac{a-5}{4} \\ 3 - a & = 1 - \frac{a-5}{4} \, \, \, \, \text{(kali 4)} \\ 12 - 4a & = 4 - (a-5) \\ 3a & = 3 \\ a & = 1 \end{align} $
Jadi, nilai $ a = 1 $

4). Pertidaksamaan $ ax^2 + bx - 3 \leq 0 \, $ mempunyai penyelesaian $ - \frac{1}{2} \leq x \leq 3 $ .
Tentukan nilai $ a + b ? $
Penyelesaian :
$\clubsuit $ Solusinya $ - \frac{1}{2} \leq x \leq 3 $ , akar-akarnya adalah $ x = - \frac{1}{2} \, $ dan $ x = 3 $
$ \clubsuit $ Substitusi akar-akarnya ke pertidaksamaan :
$ \begin{align} x = - \frac{1}{2} \rightarrow ax^2 + bx - 3 & \leq 0 \\ a(-\frac{1}{2})^2 + b.(-\frac{1}{2}) - 3 & = 0 \\ a(\frac{1}{4}) - b.(\frac{1}{2}) - 3 & = 0 \, \, \, \, \text{(kali 4)} \\ a - 2b - 12 & = 0 \\ a - 2b & = 12 \, \, \, \, \text{...pers(i)} \\ x = 3 \rightarrow ax^2 + bx - 3 & \leq 0 \\ a(3)^2 + b.(3) - 3 & = 0 \\ 9a + 3b & = 3 \, \, \, \, \text{...pers(ii)} \end{align} $
$ \clubsuit $ Eliminasi pers(i) dan pers(ii)
$ \begin{array}{c|c|cc} a - 2b = 12 & \text{kali 3} & 3a - 6b = 36 & \\ 9a + 3b = 3 & \text{kali 2} & 18a + 6b = 6 & + \\ \hline & & 21a = 42 & \\ & & a = 2 & \end{array} $
Pers(i) : $ a - 2b = 12 \rightarrow 2 - 2b = 12 \rightarrow b = -5 $
Sehingga nilai $ a + b = 2 + (-5) = -3 $
Jadi, nilai $ a + b = -3 $

Irisan dan Gabungan dua himpunan
       Irisan lambangnya $ \cap \, $ dan gabungan lambangnya $ \cup $
$\clubsuit $ Hasil irisan dua himpunan adalah himpunan nilai yang sama yang terdapat pada kedua himpunan.
$ \clubsuit $ Hasil gabungan dua himpunan adalah himpunan semua nilai yang terdapat pada kedua himpunan.

Contoh
1). Himpunan $ A = \{1,2,3,4,5,6\} \, $ dan himpunan $ B = \{ 2,3,4,6,7,8\} $
*). Irisannya : $ A \cap B = \{2,3,4\} \, $ (ambil yang sama saja dari kedua himpunan)
*). Gabungannya : $ A \cup B = \{ 1,2,3,4,5,6,7,8\} \, $ (diambil semua, yang sama ditulis satu kali)

2). Diketahui : $ HP1 = \{ -2 < x < 4 \} , \, HP2 = \{ 0 < x < 5 \} $
*). Irisannya : $ HP1 \cap HP2 = \{ 0 < x < 4 \} $
*). Gabungannya : $ HP1 \cup HP2 = \{ -2 < x < 5 \} $
garis bilangannya :

       Pertidaksamaan secara umum mempunyai penyelesaian seperti di atas. Artinya apapun jenis pertidaksamaannya, penyelesaiannya sama saja mengikuti langkah-langkah umum di atas. Namun untuk lebih maksimal, silahkan baca artikel pertidaksamaan secara lebih khusus, yaitu pertidaksamaan linear, pertidaksamaan kuadrat, pertidaksamaan pecahan, pertidaksamaan bentuk akar, pertidaksamaan bentuk nilai mutlak.

Sistem Persamaan dalam Soal Cerita

         Blog Koma - Dalam beberapa jenis soal sistem persamaan, ternyata tidak semua langsung dalam bentuk suatu sistem persamaan dalam variabel, akan tetapi dalam bentuk soal cerita. Kali ini kita akan membahas Sistem Persamaan dalam Soal Cerita. Namun, untuk memudahkan penyelesaian soal cerita, sebaiknya kita mempelajari dahulu beberapa materi yaitu sistem persamaan linear dua variabel, sistem persamaan tiga variabel, sistem persamaan linear dan kuadrat, serta sistem persamaan kuadrat dan kuadrat.
Penyelesaian Sistem Persamaan dalam Soal Cerita
       Langkah-langkah menyelesaikan Soal Cerita :
$\clubsuit \, $ Buat model matematikanya dengan cara memisalkan
$\clubsuit \, $ Selesaikan sistem persamaan yang terbentuk.

Contoh
1). Di sebuah toko Budi membayar Rp 11.000 untuk pembelian 2 buah buku dan 3 buah pensil. Di toko yang sama Iwan membayar Rp 6.000 untuk pembelian sebuah buku dan 2 buah pensil. Jika Wati membeli 3 buah buku dan 2 buah pensil, ia harus membayar?
Penyelesaian :
$\spadesuit $ Kita buat model matematikanya
Misalkan $ x = \, $ harga buku per buah, $ y = \, $ harga pensil per buah,
*). 2 buku dan 3 pensil seharga 11.000
$ 2x + 3y = 11000 $
*). 1 buku dan 2 pensil seharga 6.000
$ x + 2y = 6000 $
Sistem persamaannya : $ \left\{ \begin{array}{c} 2x + 3y = 11000 \\ x + 2y = 6000 \end{array} \right. $
$\spadesuit $ Eliminasi pers(i) dan pers(ii)
$\begin{array}{c|c|cc} 2x + 3y = 11000 & \text{kali 1} & 2x + 3y = 11000 & \\ x + 2y = 6000 & \text{kali 2} & 2x + 4y = 12000 & + \\ \hline & & -y = -1000 & \\ & & y = 1000 & \end{array} $
Pers(ii) : $ x + 2y = 6000 \rightarrow x + 2 \times 1000 = 6000 \rightarrow x = 4000 $
$\spadesuit $ Harga 3 buku dan 2 pensil
$ 3x + 2y = 3 \times 4000 + 2 \times 1000 = 12000 + 2000 = 14000 $
Jadi, harga 3 buku dan 2 pensil adalah Rp 12.000

2). Usia A sekarang sama dengan tiga kali usia B, sedangkan lima tahun yang lalu, dua kali usia A sama dengan 15 tahun lebih tua dari 7 kali usia B. Tentukan jumlah umur mereka!
Penyelesaian :
$\clubsuit $ Model matematikanya
Misalkan : Usia A sekarang $ x \, $ tahun dan usia B sekarang $ y \, $ tahun.
*). Sekarang, usia A tiga kali usia B
$ x = 3y $
*). Lima tahun yang lalu, usia A = $ x - 5 $ dan usia B = $ y - 5 $
Dua kali usia A sama dengan 15 tahun lebihnya dari 7 kali usia B
$ 2(x-5) = 7(y-5) + 15 \rightarrow 2x - 10 = 7y - 35 + 15 \rightarrow 2x - 7y = -10 $
Sistem persamaannya : $ \left\{ \begin{array}{c} x = 3y \\ 2x - 7y = -10 \end{array} \right. $
$\clubsuit $ Substitusi pers(i) ke pers(ii)
$ \begin{align} 2x - 7y & = -10 \\ 2(3y) - 7y & = -10 \\ 6y - 7y & = -10 \\ -y & = -10 \\ y & = 10 \end{align} $
Pers(i) : $ x = 3y = 3.10 = 30 $
artinya, usia A sekarang 10 tahun dan usia B sekarang 30 tahun.
Sehingga nilai $ x + y = 10 + 30 = 40 $
Jadi, jumlah umur mereka sekarang adalah 40 tahun.

3). Besarnya gaji dari empat orang pegawai A, B, C, dan D sebagai berikut. Gaji B sebesar 2 kali gaji A, gaji C lebih 100.000 dari gaji A, gaji D kurang 300.000 dari gaji B. Jika rata-rata gaji C dan D adalah 800.000, tentukan besarnya gaji B?
Penyelesaian :
$\spadesuit $ Model matematikanya
Sistem persamaannya :
$ \left\{ \begin{array}{c} B = 2A \\ C = A + 100.000 \\ D = B - 300.000 \\ \frac{C+D}{2} = 800.000 \end{array} \right. \, \, \, \, \, $ atau $\, \, \, \, \, \left\{ \begin{array}{c} \rightarrow A = \frac{1}{2}B \\ \rightarrow C = \frac{1}{2}B + 100.000 \\ D = B - 300.000 \\ \rightarrow C + D = 1.600.000 \end{array} \right. $
$\spadesuit $ Substitusi pers(ii) dan pers(iii) ke pers(iv)
$ \begin{align} C + D & = 1.600.000 \\ (\frac{1}{2}B + 100.000) + (B - 300.000) & = 1.600.000 \\ \frac{3}{2}B & = 1.800.000 \\ B & = \frac{2}{3} \times 1.800.000 \\ B & = 1.200.000 \end{align} $
Jadi, besarnya gaji B adalah Rp 1.200.000

4). Dua buah bilangan positif memiliki selisih 5 dan hasil kali 1. Tentukan jumlah kuadrat kedua bilangan tersebut?
Penyelesaian :
$\clubsuit $ Model matematikanya
Misalkan bilangannya $ a \, $ dan $ b \, $ dengan $ a > b $
Sistem persamaannya : $ \left\{ \begin{array}{c} a-b = 5 \\ ab = 1 \end{array} \right. $
$\clubsuit $ Kuadratkan pers(i)
$ \begin{align} a-b & = 5 \\ (a-b)^2 & = 5^2 \\ a^2 + b^2 - 2ab & = 25 \\ a^2 + b^2 & = 25 + 2ab \, \, \, \, \text{(substitusi } ab = 1) \\ a^2 + b^2 & = 25 + 2.(1) \\ a^2 + b^2 & = 25 + 2 \\ a^2 + b^2 & = 27 \end{align} $
Jadi, jumlah kuadrat kedua bilangan tersebut adalah 27.

         Nah, itu beberapa soal dan pembahasannya yang berkaitan dengan sistem persamaan dalam soal cerita. Semoga bermanfaat.

Sistem Persamaan Kuadrat dan Kuadrat (SPKK)

         Blog Koma - Sistem Persamaan Kuadrat dan Kuadrat (SPKK) adalah kumpulan persamaan kuadrat yang mempunyai solusi yang sama. Untuk menyelesaikan masalah sistem persamaan linear dan kuadrat, kita harus menguasai tentang nilai "Diskriminan". Nilai Diskriminan suatu fungsi kuadrat atau persamaan kuadrat dapat ditentukan dengan rumus $ D = b^2 - 4ac $

Bentuk Umum Sistem Persamaan Kuadrat dan Kuadrat (SPKK)
       Adapun bentuk umum sistem persamaan kuadrat dan kuadrat dengan variabel $ x \, $ dan $ y $
                     SPKK : $ \left\{ \begin{array}{c} y = px^2 + qx + r \\ y = ax^2 + bx + c \end{array} \right. $
Keterangan :
*). Variabelnya $ x \, $ dan $ y $
*). Koefisiennya $ a,b,p,q \in R $
*). Konstantanya $ r,c \in R $

Penyelesaian Sistem Persamaan Kuadrat dan Kuadrat (SPKK)
       Langkah-langkah menyelesaikan SPKK :
$\clubsuit \, $ Substitusikan salah satu persamaan ke persamaan lainnya sehingga terbentuk persamaan kuadrat.
$\clubsuit \, $ Tentukan akar-akar persamaan kuadrat (misal $ x_1 \, $ dan $ x_2 $ ) , kemudian substitusikan $ x_1 \, $ dan $ x_2 $ ke persamaan garis untuk memperoleh $ y_1 \, $ dan $ y_2 $ .
$\clubsuit \, $ Himpunan penyelesaian adalah $\{(x_1,y_1),(x_2,y_2)\}$ .

Jenis-jenis penyelesaian SPKK
       SPKK ini dapat dituliskan dalam bentuk (setelah disubstitusikan) :
                     $ (a-p)x^2 + (b-q)x + (c-r) = 0 $
dengan nilai diskriminan : $ D = b^2 - 4ac = (b-q)^2 - 4.(a-p).(c-r) $

SPKK memiliki beberapa kemungkinan penyelesaian berdasarkan:

$\spadesuit $ Jika dilihat dari nilai $D$, SPKK memiliki beberapa jenis penyelesaian:
i). Jika $ D > 0$ , maka SPKK memiliki dua penyelesaian. Secara geometris, kedua kurva berpotongan di dua titik.
ii). Jika $D = 0$, maka SPKK memiliki satu penyelesaian. Secara geometris, kedua kurva berpotongan di satu titik.
iii). Jika $D < 0$, maka SPKK tidak memiliki penyelesaian. Secara geometris, kedua kurva tidak berpotongan.

$ \spadesuit $ Jika dilihat dari koefisien dari setiap persamaan
SPKK : $ \left\{ \begin{array}{c} y = px^2 + qx + r \\ y = ax^2 + bx + c \end{array} \right. $
i). Jika $ a = p \, $ dan $ b \neq q , \, $ maka SPKK memiliki dua penyelesaian.
ii). Jika $ a = p , b = q, \, $ dan $ c \neq r , \, $ maka SPKK tidak mempunyai penyelesaian karena kedua kurva sejajar dan tidak berimpit.
iii). Jika $ a = p , b = q, \, $ dan $ c = r , \, $ maka SPKK mempunyai banyak penyelesaian (ada tak hingga penyelesaian) karena kedua kurva berimpit.

Contoh
1). Tentukan Himpunan penyelesaian dari sistem persamaan
$ \left\{ \begin{array}{c} y = 2x^2 - 4x + 3 \\ y = x^2 - 3x + 5 \end{array} \right. $
Penyelesaian :
$\spadesuit $ Substitusi pers(i) ke pers(ii)
$ \begin{align} y = 2x^2 - 4x + 3 \, \, \underbrace{\rightarrow \rightarrow \rightarrow \rightarrow \rightarrow}_{\text{substitusi}} \, \, y & = x^2 - 3x + 5 \\ 2x^2 - 4x + 3 & = x^2 - 3x + 5 \\ x^2 - x - 2 & = 0 \\ (x+1)(x-2) & = 0 \\ x = -1 \vee x & = 2 \end{align} $
artinya $ x_1 = -1 \, $ dan $ x_2 = 2 $
$\spadesuit $ Substitusi nilai $ x_1 = -1 \, $ dan $ x_2 = 2 \, $ ke pers(ii)
$ x_1 = -1 \rightarrow y_1 = x^2 - 3x + 5 = (-1)^2 - 3(-1) + 5 = 9 $
$ x_2 = 2 \rightarrow y_2 = x^2 - 3x + 5 = 2^2 - 3.2 + 5 = 3 $
Jadi, HP nya adalah $ \left\{ (-1,9), \, (2,3) \right\} $

2). Nilai $ x \, $ yang memenuhi sistem persamaan
$ \left\{ \begin{array}{c} x^2 + y^2 = 25 \\ y = 4 \end{array} \right. $
adalah .... ?
Penyelesaian :
$\clubsuit $ Substitusi $ y = 4 \, $ ke pers(i)
$ 4x-y-6 = 0 \rightarrow y = 4x - 6 $
$ \begin{align} x^2 + y^2 & = 25 \\ x^2 + 4^2 & = 25 \\ x^2 + 16 & = 25 \\ x^2 & = 9 \\ x & = \pm \sqrt{9} \\ x & = \pm 3 \\ x_1 = -3 \vee x_2 & = 3 \end{align} $
Jadi, nilai $ x \, $ yang memenuhi adalah $ x = -3 \, $ atau $ x = 3 $

3). SPKK berikut memiliki satu penyelesaian,
$ \left\{ \begin{array}{c} 2ax^2 + x + 3 - y = 0 \\ y = ax^2 - 2x + a \end{array} \right. $
tentukan nilai $ 4a^2 + 2a - 1 ? $
Penyelesaian :
$\spadesuit $ Substitusikan pers(ii) ke pers(i)
$ \begin{align} 2ax^2 + x + 3 - y & = 0 \\ 2ax^2 + x + 3 - (ax^2 - 2x + a) & = 0 \\ ax^2 + 3x + (3-a) & = 0 \end{align} $
$\spadesuit $ Syarat mempunyai satu penyelesaian : $ D = 0 $
Dari bentuk : $ ax^2 + 3x + (3-a) = 0 $
$ \begin{align} D & = 0 \\ b^2 - 4ac & = 0 \\ 3^2 - 4.a.(3-a) & = 0 \\ 9 - 12a + 4a^2 & = 0 \\ (2a-3)^2 & = 0 \\ 2a - 3 & = 0 \\ a & = \frac{3}{2} \end{align} $
Sehingga nilai $ 4a^2 + 2a - 1 = 4 \left( \frac{3}{2} \right)^2 + 2. \frac{3}{2} - 1 = 4 . \frac{9}{4} + 3 - 1 = 11 $
Jadi, nilai $ 4a^2 + 2a - 1 = 11 $

4). Sistem persamaan
$ \left\{ \begin{array}{c} y = (a-1)x^2 + \left( \frac{b}{2} - 3 \right)x - 1 \\ y = 2x^2 - 2x + (3-2c) \end{array} \right. $
mempunyai banyak penyelesaian (tak hingga). Tentukan nilai $ a^2 + b^2 - c^2 $ ?
Penyelesaian :
$\clubsuit $ Syarat mempunyai banyak penyelesaian adalah besarnya koefisien setiap suku sama ($ a= p, \, b = q, \, c = r $)
Koefisien $ x^2 \, $ : $ \, a - 1 = 2 \rightarrow a = 3 $
Koefisien $ x \, $ : $ \, \frac{b}{2} - 3 = -2 \rightarrow b = 2 $
Konstanta : $ \, -1 = 3-2c \rightarrow c = 2 $
Jadi, nilai $ a^2 + b^2 - c^2 = 3^2 + 2^2 - 2^2 = 9 $

Sistem Persamaan Linear dan Kuadrat (SPLK)

         Blog Koma - Sistem Persamaan Linear dan Kuadrat (SPLK) adalah kumpulan persamaan linear dan persamaan kuadrat yang mempunyai solusi yang sama. Untuk menyelesaikan masalah sistem persamaan linear dan kuadrat, kita harus menguasai tentang "hubungan garis dan parabola" yang tentu ada kaitannya dengan "fungsi kuadrat" dan nilai "Diskriminan".

Bentuk Umum Sistem Persamaan Linear dan Kuadrat (SPLK)
       Adapun bentuk umum sistem persamaan linear dan kuadrat dengan variabel $ x \, $ dan $ y $
                     SPLK : $ \left\{ \begin{array}{c} y = px + q \\ y = ax^2 + bx + c \end{array} \right. $
Keterangan :
*). Variabelnya $ x \, $ dan $ y $
*). Koefisiennya $ a,b,p \in R $
*). Konstantanya $ q,c \in R $

Penyelesaian Sistem Persamaan Linear dan Kuadrat (SPLK)
       Langkah-langkah menyelesaikan SPLK :
$\clubsuit \, $ Substitusikan salah satu persamaan ke persamaan lainnya sehingga terbentuk persamaan kuadrat.
$\clubsuit \, $ Tentukan akar-akar persamaan kuadrat (misal $ x_1 \, $ dan $ x_2 $ ) , kemudian substitusikan $ x_1 \, $ dan $ x_2 $ ke persamaan garis untuk memperoleh $ y_1 \, $ dan $ y_2 $ .
$\clubsuit \, $ Himpunan penyelesaian adalah $\{(x_1,y_1),(x_2,y_2)\}$ .

Jenis-jenis penyelesaian SPLK
       SPLK ini dapat dituliskan dalam bentuk (setelah disubstitusikan) :
                     $ ax^2 + (b-p)x + (c-q) = 0 $
dengan nilai diskriminan : $ D = b^2 - 4ac = (b-p)^2 - 4a(c-q) $

Jika dilihat dari nilai $D$, SPLK memiliki beberapa jenis penyelesaian:
i). Jika $ D > 0$ , maka SPLK memiliki dua penyelesaian. Secara geometris, garis memotong kurva di dua titik.
ii). Jika $D = 0$, maka SPLK memiliki satu penyelesaian. Secara geometris, garis menyinggung kurva di satu titik.
iii). Jika $D < 0$, maka SPLK tidak memiliki penyelesaian. Secara geometris, garis tidak memotong kurva.

Contoh
1). Himpunan penyelesaian SPLK
$ \left\{ \begin{array}{c} y = -4x + 1 \\ y = x^2 - 3x - 1 \end{array} \right. $
adalah $\{(x_1,y_1),(x_2,y_2)\} \, $ , tentukan nilai $ x_1 + x_2 ?$
Penyelesaian :
$\spadesuit $ Substitusi pers(i) ke pers(ii)
$ \begin{align} y = -4x + 1 \, \, \underbrace{\rightarrow \rightarrow \rightarrow \rightarrow \rightarrow}_{\text{substitusi}} \, \, y & = x^2 - 3x - 1 \\ -4x + 1 & = x^2 - 3x - 1 \\ x^2 + x - 2 & = 0 \\ (x+2)(x-1) & = 0 \\ x = -2 \vee x & = 1 \end{align} $
artinya $ x_1 = -2 \, $ dan $ x_2 = 1 $
Sehingga nilai $ x_1 + x_2 = -2 + 1 = -1 $
Jadi, nilai $ x_1 + x_2 = -1 $

2). Tentukan Himpunan penyelesaian (HP) dari SPLK:
$ \left\{ \begin{array}{c} 4x-y-6 = 0 \\ 2x^2-3x+y+3 = 0 \end{array} \right. $
Penyelesaian :
$\clubsuit $ Substitusi pers(i) ke pers(ii)
$ 4x-y-6 = 0 \rightarrow y = 4x - 6 $
$ \begin{align} y = 4x - 6 \, \, \underbrace{\rightarrow \rightarrow \rightarrow \rightarrow \rightarrow}_{\text{substitusi}} \, \, 2x^2-3x+y+3 & = 0 \\ 2x^2-3x+(4x-6)+3 & = 0 \\ 2x^2 + x - 3 & = 0 \\ (2x+3)(x-1) & = 0 \\ x_1 = -\frac{3}{2} \vee x_2 & = 1 \end{align} $
$\clubsuit $ Substitusikan nilai $ x_1 \, $ dan $ x_2 \, $ ke persamaan garis ($ y= 4x -6$) untuk memperoleh $ y_1 \, $ dan $ y_2 $ :
$ x_1 = -\frac{3}{2} \rightarrow y_1 = 4x - 6 = 4 \left(-\frac{3}{2} \right) - 6 = -6 -6 = -12 $
$ x_2 = 1 \rightarrow y_2 = 4x - 6 = 4 (1) - 6 = 4 -6 = -2 $
Jadi, HP nya adalah $ \left\{ \left(-\frac{3}{2}, -12 \right), \, (1, -2) \right\} $

3). Salah satu nilai $x$ yang memenuhi Sistem Persamaan berikut:
$ \left\{ \begin{array}{c} 4x^2-4xy+y^2 = 4 \\ 3x + y = 8 \end{array} \right. $
adalah .... ?
Penyelesaian :
$\spadesuit $ Faktorkan pers(i) :
$ \begin{align} 4x^2-4xy+y^2 & = 4 \\ (2x -y)(2x-y) & = 4 \\ (2x-y)^2 & = 4 \\ 2x - y & = \pm \sqrt{4} = \pm 2 \\ 2x - y & = \pm 2 \\ 2x - y = 2 \vee 2x - y & = -2 \end{align} $
$\spadesuit $ Eliminasi persamaan baru yang diperoleh dengan garis ($3x + y = 8$)
$\begin{array}{cc} 2x - y = 2 & \\ 3x + y = 8 & + \\ \hline 5x = 10 & \\ x = 2 & \end{array} \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, $ $ \begin{array}{cc} 2x - y = -2 & \\ 3x + y = 8 & + \\ \hline 5x = 6 & \\ x = \frac{6}{5} & \end{array} $
Jadi, nilai $ x \, $ yang memenuhi adalah $ x = 2 \, $ atau $ x = \frac{6}{5} $

4). Jika $(a,b)$ memenuhi SP berikut:
$ \left\{ \begin{array}{c} 5x^2+3y^2 = 24 \\ \sqrt{5}x - \sqrt{3} y = 3 \end{array} \right. $
maka nilai $ ab =... ?$
Penyelesaian :
$\clubsuit $ Kuadratkan pers(ii)
$ \begin{align} \sqrt{5}x - \sqrt{3} y & = 3 \\ (\sqrt{5}x - \sqrt{3} y)^2 & = 3^2 \\ 5x^2 + 3y^2 - 2.\sqrt{5}.\sqrt{3} xy & = 9 \\ 5x^2 + 3y^2 - 2\sqrt{15} xy & = 9 \end{align} $
$\clubsuit $ Eliminasi pers(i) dan pers(ii) yang baru
$ \begin{array}{cc} 5x^2+3y^2 = 24 & \\ 5x^2 + 3y^2 - 2\sqrt{15} xy & = 9 & - \\ \hline 2\sqrt{15} xy = 15 & \\ xy = \frac{15}{2\sqrt{15}} & \\ xy = \frac{1}{2} \sqrt{15} & \end{array} $
Jadi, nilai $ ab = \frac{1}{2} \sqrt{15} $

5). Sistem Persamaan berikut:
$ \left\{ \begin{array}{c} x - y = p \\ x^2 + 3x + y = -5 \end{array} \right. $
mempunyai tepat satu solusi, tentukan nilai $ x + y ? $
Penyelesaian :
$\spadesuit $ Eliminasi persamaan (i) dan (ii):
$\begin{array}{cc} x - y = p & \\ x^2 + 3x + y = -5 & + \\ \hline x^2 + 4x = p - 5 & \\ x^2+ 4x + (5-p) = 0 & \end{array} $
$\spadesuit $ SPLK mempunyai satu penyelesaian, syaratnya $D = 0$:
$ D = 0 \rightarrow b^2 - 4ac = 0 \rightarrow 4^2 - 4.1.(5-p) = 0 \rightarrow p = 1 $
$\spadesuit $ Substitusi $p = 1$ ke persamaan kuadrat:
$ \begin{align} x^2+ 4x + (5-p) & = 0 \\ x^2+ 4x + (5-1) & = 0 \\ x^2+ 4x + 4 & = 0 \\ (x + 2)^2 & = 0 \\ x+2 & = 0 \\ x & = -2 \end{align} $
$\spadesuit $ Substitusi $ x = -2 $ ke pers(ii)
$ x^2 + 3x + y = -5 \rightarrow (-2)^2 + 3.(-2) + y = -5 \rightarrow y = -3 $
Jadi, nilai $ x + y = -2 + (-3) = -5 $

Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV)

         Blog Koma - Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV) adalah kumpulan persamaan linear yang mempunyai solusi (atau tidak mempunyai solusi) yang sama untuk semua persamaan yang terdiri dari tiga variabel. Untuk menyelesaikan sistem persamaan linear tiga variabel ini, ada beberapa cara yaitu metode eliminasi, metode substitusi, dan metode gabungan (eliminasi dan substitusi). Namun kali ini kita hanya membahas metode gabungan saja, karena akan lebih efektif dalam penyelesaiannya. Sebelumnya juga telah kita bahas tentang sistem persamaan linear dua variabel, silahkan baca artikelnya "sistem persamaan linear dua variabel".

Bentuk Umum Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV)
       Adapun bentuk umum sistem persamaan linear tiga variabel dengan variabel $ x , \, y, \, $ dan $ z $
                     SPLTV : $ \left\{ \begin{array}{c} a_1x+b_1y+c_1z = d_1 \\ a_2x+b_2y+c_2z = d_2 \\ a_3x+b_3y+c_3z = d_3 \end{array} \right. $
Keterangan :
*). Variabelnya $ x, \, y, \, $ dan $ y $
*). Koefisiennya $ a_1,b_1,c_1,a_2,b_2,c_2,a_3,b_3,c_3 \in R $
*). Konstantanya $ d_1,d_2,d_3 \in R $

Penyelesaian Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV)
       Cara terbaik menyelesaikan SPLTV dengan metode Eliminasi-Substitusi (gabungan).
       Langkah-langkah menyelesaikan SPLTV dengan metode gabungan:
$\clubsuit \, $ Eliminasi variabel pertama dengan memasang-masangkan dua persamaan dari ketiga persamaan sehingga diperoleh SPL baru yang sederhana.
$\clubsuit \, $ Dari SPL baru, eliminasi lagi sehingga diperoleh nilai dari salah satu variabel yang ada.
$\clubsuit \, $ Dari nilai variabel yang telah ada, substitusikan ke persamaan sebelumnya untuk memperoleh nilai variabel yang lainnya.

Contoh
1). Diketahui sistem persamaan linear tiga variabel,
$ \left\{ \begin{array}{c} x - y + 2z = 4 \\ 2x + 2y - z = 2 \\ 3x + y + 2z = 8 \end{array} \right. $
Mempunyai penyelesaian $\{(x,y,z)\} \, $ , maka nilai $ x + y - z = ... ?$
Penyelesaian :
$\spadesuit $ Eliminasi variabel $ y \, $ dari :
*).pers(i) dan pers(ii) :
$\begin{array}{c|c|cc} x - y + 2z = 4 & \text{kali 2} & 2x - 2y + 4z = 8 & \\ 2x + 2y - z = 2 & \text{kali 1} & 2x + 2y - z = 2 & + \\ \hline & & 4x + 3z = 10 & \end{array} $
Hasilnya kita sebut sebagai pers(iv) : $ 4x + 3z = 10 $
*). pers(i) dan pers(iii) :
$\begin{array}{cc} x - y + 2z = 4 & \\ 3x + y + 2z = 8 & + \\ \hline 4x + 4z = 12 & \end{array} $
Hasilnya kita sebut sebagai pers(v) : $ 4x + 4z = 12 $
Tebentuklah SPL baru : $ \left\{ \begin{array}{c} 4x + 3z = 10 \\ 4x + 4z = 12 \end{array} \right. $
$\spadesuit $ Eliminasi variabel $ x \, $ dari pers(iv) dan pers(v)
$\begin{array}{cc} 4x + 3z = 10 & \\ 4x + 4z = 12 & - \\ \hline -z = -2 & \\ z = 2 & \end{array} $
$\spadesuit $ Substitusi $ z = 2 \, $ ke pers(iv)
$ 4x + 3z = 10 \rightarrow 4x + 3.2 = 10 \rightarrow 4x = 4 \rightarrow x = 1 $
$\spadesuit $ Substitusi $ z = 2 \, $ dan $ x = 1 \, $ ke pers(i)
$ x - y + 2z = 4 \rightarrow 1 - y + 2.2 = 4 \rightarrow y = 1 $
Sehingga nilai $ x + y - z = 1 + 1 - 2 = 0 $
Jadi, nilai $ x + y - z = 0 . \heartsuit $

2). Jika $(a, b, c)$ merupakan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan $ x + 2y + 3z = 4, \, 2x + y + z = 6, \, $ dan $ 3x + 3y + 2z = 8, \, $ maka nilai $ a + b + c = ... ?$
Penyelesaian :
$\clubsuit $ Terkadang soal-soal SPL tidak harus dicari semua nilai variabelnya, bisa langsung dijumlah, dikurangkan, atau dikalikan dari persamaan yang ada sehingga hasilnya sama dengan pertanyaan yang diminta.
$\begin{array}{cc} x + 2y + 3z = 4 & \\ 2x + y + z = 6 & \\ 3x + 3y + 2z = 8 & + \\ \hline 6x + 6y + 6z = 18 & \\ x + y + z = 3 & \end{array} $
Jadi, nilai $ a + b + c = 3 . \heartsuit $

3). Jika $(x,y,z)$ memenuhi sistem persamaan (SP)
$ \frac{xy}{x+y} = \frac{1}{5}, \, \frac{xz}{x+z} = \frac{1}{3}, \, $ dan $ \frac{yz}{y+z} = \frac{1}{4}, \, $
maka nilai $ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = ...? $
Penyelesaian :
$\spadesuit $ Sederhanakan semua bentuk persamaan yang ada dengan cara dibalik.
$ \frac{xy}{x+y} = \frac{1}{5} \rightarrow \frac{x+y}{xy} = \frac{5}{1} \rightarrow \frac{x}{xy} + \frac{y}{xy} = 5 \rightarrow \frac{1}{y} + \frac{1}{x} = 5 $
$ \frac{xz}{x+z} = \frac{1}{3} \rightarrow \frac{x+z}{xz} = \frac{3}{1} \rightarrow \frac{x}{xz} + \frac{z}{xz} = 3 \rightarrow \frac{1}{z} + \frac{1}{x} = 3 $
$ \frac{yz}{y+z} = \frac{1}{4} \rightarrow \frac{y+z}{yz} = \frac{4}{1} \rightarrow \frac{y}{yz} + \frac{z}{yz} = 4 \rightarrow \frac{1}{z} + \frac{1}{y} = 4 $
$\spadesuit $ Misalkan $ p = \frac{1}{x}, \, q = \frac{1}{y}, \, $ dan $ r = \frac{1}{z} $
Sistem menjadi :
$ \frac{1}{y} + \frac{1}{x} = 5 \rightarrow p + q = 5 \rightarrow p = 5 - q $
$ \frac{1}{z} + \frac{1}{x} = 3 \rightarrow p + r = 3 $
$ \frac{1}{z} + \frac{1}{y} = 4 \rightarrow q + r = 4 \rightarrow r = 4 - q $
$\spadesuit $ Substitusi $ p = 5 - q \, $ dan $ r = 4 - q \, $ ke pers(ii)
$ p + r = 3 \rightarrow (5-q) + (4-q) = 3 \rightarrow 9-2q = 3 \rightarrow q = 3 $
$ q = 3 \rightarrow p = 5 - q = 5 - 3 = 2 $
$ q = 3 \rightarrow r = 4 - q = 4 - 3 = 1 $
Sehingga nilai $ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = p + q + r = 2 + 3 + 1 = 6 $
Jadi, nilai $ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 6 . \heartsuit $

Cara II : Sistem baru yang terbentuk langsung dijumlahkan.
$\begin{array}{cc} \frac{1}{y} + \frac{1}{x} = 5 & \\ \frac{1}{z} + \frac{1}{x} = 3 & \\ \frac{1}{z} + \frac{1}{y} = 4 & + \\ \hline 2\left( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} \right) = 12 & \\ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 6 & \end{array} $
Jadi, nilai $ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 6 . \heartsuit $

4). Diketahui SPLTV : $ \left\{ \begin{array}{cc} 2x + y + 2z = 5 & ...\text{(i)} \\ x + 2y + z = 4 & ...\text{(ii)} \\ x + y + z = 3 & ...\text{(iii)} \end{array} \right. $
mempunyai penyelesaian $ \{(a,b,c)\} \, $ , hubungan antara $ a \, $ dan $ c $ adalah ... ?
Penyelesaian :
$\clubsuit $ Eliminasi variabel $ y $ dari pers(i) dan pers(iii)
$\begin{array}{cc} 2x + y + 2z = 5 & \\ x + y + z = 3 & - \\ \hline x + z = 2 & \end{array} $
artinya $ x + y = 2 \rightarrow a + c = 2 $
Jadi, hubungan antara $ a \, $ dan $ c \, $ adalah $ a + c = 2 . \heartsuit $
Catatan: untuk memperoleh hubungan $ a \, $ dan $ c \, $ , cukup kita eliminasi variabel $ y $ dari persamaan yang ada.

5). Agar SPLTV : $ \left\{ \begin{array}{cc} 2ax + y + az = 10 & ...\text{(i)} \\ ay + z = 3 & ...\text{(ii)} \\ x + ay + az = 8 & ...\text{(iii)} \\ x + y + z = 7 & ...\text{(iv)} \end{array} \right. $
mempunyai solusi, tentukan nilai $ a^2 + 2a + 3 $
Penyelesaian :
$\spadesuit $ Jumlahkan pers(i), (ii), dan (iii) :
$\begin{array}{cc} 2ax + y + az = 10 & \\ ay + z = 3 & \\ x + ay + az = 8 & + \\ \hline (2a+1)x + (2a+1)y+ (2a+1)z = 21 & \\ x + y + z = \frac{21}{2a+1} & \end{array} $
terbentuklah pers(v) : $ x + y + z = \frac{21}{2a+1} $
$\spadesuit $ Bentuk pers(iv) dan pers(v) harus sama, diperoleh
$ \left. \begin{array}{c} x + y + z = 7 \\ x + y + z = \frac{21}{2a+1} \end{array} \right\} \, $ Sama
Sehingga : $ \frac{21}{2a+1} = 7 \rightarrow 2a + 1 = 3 \rightarrow a = 1 $
Nilai $ a^2 + 2a + 3 = 1^2 + 2.1 + 3 = 1 + 2 + 3 = 6 $
Jadi, nilai $ a^2 + 2a + 3 = 6. \heartsuit $

6). Tentukan penyelesaian dari sistem persamaan
$ \left\{ \begin{array}{cc} 2x + y + z = 4 \\ x - y - 4z = 5 \end{array} \right. $
dengan $ x, y , z $ anggota bilangan real.
Penyelesaian :
*). Dari soal ini, terdapat tiga variabel yaitu $ x , y, $ dan $ z $ serta hanya dua persamaan. Karena banyaknya persamaan lebih sedikit dibandingkan dengan banyaknya variabel, maka sistem persamaan ini memiliki penyelesaian sebanyak tak hingga.
*). Kita misalkan salah satu variabelnya bernilai $ t $ yaitu untuk $ z = t $, maka sistem persamaannya dapat kita ubah menjadi :
$ 2x + y + z = 4 \rightarrow 2x + y + t = 4 \rightarrow 2x + y = 4 - t $
$ x - y - 4z = 5 \rightarrow x - y - 4t = 5 \rightarrow x - y = 5 + 4t $
Sistemnya menjadi :
$ \left\{ \begin{array}{cc} 2x + y = 4 - t \\ x - y = 5 + 4t \end{array} \right. $
dengan $ t $ anggota bilangan real.
(kita bebas memisalkan salah satu variabelnya dengan $ t $, di sini kita misalkan $ z = t $).
*). Dari sistem persamaan baru ini memiliki arti bahwa penyelesaian sistem persamaannya adalah dalam bentuk $ t $.
*). Menyelesaikan sistem persamaan yang baru.
$ \begin{array}{cc} 2x + y = 4 - t & \\ x - y = 5 + 4t & + \\ \hline 3x = 9 + 3t & \\ x = 3 + t & \end{array} $
Persamaan (i) :
$ 2x + y = 4 - t \rightarrow 2(3 + t) + y = 4 - t \rightarrow y = -2 - 3t $.
*). Kita peroleh penyelesaian sistem persamaannya yaitu :
$ (x,y,z ) = (3+t, -2-3t,t ) $
dengan $ t $ anggota bilangan real.
*). Sebagai contoh, kita ambil nilai $ t = 1 $ , maka kita peroleh :
$ (x,y,z) = (4, -5, 1) $
Dan masih banyak lagi nilai $ t $ yang lainnya.

7). Tentukan penyelesaian dari sistem persamaan
$ \left\{ \begin{array}{cc} 2x + y + z = 4 \\ x - y - 4z = 5 \end{array} \right. $
dengan $ x, y , z $ anggota bilangan bulat positif.
Penyelesaian :
*). Soal ini memiliki sistem persamaan yang sama dengan contoh soal nomor 6 di atas, hanya saja penyelesaiannya dalam bentuk bilangan bulat positif. Untuk menyelesaikannya, langkah-langkahnya sama dengan penyelesaian contoh 6 di atas. Kita peroleh penyelesaiannya yaitu :
$ (x,y,z ) = (3+t, -2-3t,t ) $
*). Karena $ x, y , z $ anggota bilangan bulat positif, maka :
$ x > 0 \rightarrow 3 + t > 0 \rightarrow t > -3 $
$ y > 0 \rightarrow -2-3t > 0 \rightarrow -3t > 2 \rightarrow t < -\frac{2}{3} $
$ z > 0 \rightarrow t > 0 $
Dari ketiga bentuk pertidaksamaan dalam $ t $ ini, maka tidak ada nilai $ t $ yang memenuhi, sehingga nilai $ x $ , $ y $ , dan $ z $ bilangan bulat positif juga tidak ada yang memenuhi sistem persamaan atau kita sebut himpunan kosong.
Jadi, tidak ada nilai $ x, y, $ dan $ z $ bilangan bulat positif yang memenuhi sistem persamaan contoh 7.

Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV)

         Blog Koma - Sistem Persamaan Linear (SPL) adalah kumpulan persamaan linear yang mempunyai solusi (atau tidak mempunyai solusi) yang sama untuk semua persamaan. Sistem Persamaan yang akan kita bahas adalah sistem persamaan linear dua variabel, sistem persamaan linear tiga variabel, sistem persamaan linear dan kuadrat, dan sistem persamaan kuadrat dan kuadrat. Untuk artikel kali ini kita akan bahas tentang sistem persamaan linear dua variabel (SPLDV).

Bentuk Umum Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV)
       Adapun bentuk umum sistem persamaan linear dua variabel dengan variabel $ x \, $ dan $ y $
                     SPLDV : $ \left\{ \begin{array}{c} a_1x+b_1y = c_1 \\ a_2x+b_2y = c_2 \end{array} \right. $
Keterangan :
*). Variabelnya $ x $ dan $ y $
*). Koefisiennya $ a_1,b_1,a_2,b_2 \in R $
*). Konstantanya $ c_1,c_2 \in R $

Penyelesaian Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV)
       Penyelesaian SPLDV dapat dilakukan dengan beberapa cara yaitu :
i). Metode grafik
ii). Metode Substitusi
iii). Metode Eliminasi
iv). Metode Eliminasi-Substitusi (Gabungan)

i). Metode grafik
       Solusi atau penyelesaian SPLDV metode grafik adalah titik potong kedua grafik. Metode grafik yang dimaksud adalah kita harus menggambar grafiknya (berupa garis lurus). Untuk materi menggambar garis lurus, silahkan baca artikel "Persamaan Garis Lurus dan Grafiknya"
Langkah-langkah:
*). Gambar grafik kedua persamaan
*). Ada tiga kemungkinan gambar grafiknya:
1). Sejajar
       Garis $k$ dan $m$ sejajar dan tidak berpotongan, dakam keadaan ini SPLDV tidak mempunyai penyelesaian. SPLDV tidak mempunyai penyelesaian dengan syarat: $ \frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2} $ .

2). Berimpit
       Garis $k$ dan $m$ berimpit (menyatu), dakam keadaan ini SPLDV mempunyai penyelesaian banyak (tak hingga atau tak trivial) karena setiap titik pada garis memenuhi kedua persamaan. Hal ini terjadi dengan syarat: $ \frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2} $ .

3). Berpotongan
       Garis $k$ dan $m$ berpotongan di titik A, dalam keadaan ini SPLDV mempunyai tepat satu penyelesaian (trivial) atau solusi yaitu titik A. Hal ini terjadi dengan syarat: $ \frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2} $ .
Contoh
1). Tentukan Penyelesaian SPLDV berikut :
$ \left\{ \begin{array}{c} x + y = 3 \\ 3x + 3y = 6 \end{array} \right. $
Penyelesaian :
garis $ k : \, x + y = 3 \rightarrow $ melalui titik (0,3) dan (3,0)
garis $ m : \, 3x + 3y = 6 \rightarrow $ melalui titik (0,2) dan (2,0)
Kedua garis sejajar dan tidak berpotongan, sehingga tidak ada solusi yang memenuhi SPLDV tersebut.

2). Tentukan Penyelesaian SPLDV berikut :
$ \left\{ \begin{array}{c} 2x - y = 3 \\ 6x - 3y = 9 \end{array} \right. $
Penyelesaian :
garis $ k : \, 2x - y = 3 \rightarrow $ melalui titik (0,-3) dan ($\frac{3}{2}$,0)
garis $ m : \, 6x - 3y = 9 \rightarrow $ melalui titik (0,-3) dan ($\frac{3}{2}$,0)

Garis $k$ dan $m$ berimpit, sehingga SPLDV tersebut mempunyai banyak penyelesaian (tak hingga).

3). Jika ($a,b$) memenuhi SPLDV berikut, tentukan nilai $ a + b $ ?
$ \left\{ \begin{array}{c} x - 2y = 6 \\ 3x + 2y = 6 \end{array} \right. $
Penyelesaian :
garis $ k : \, x - 2y = 6 \rightarrow $ melalui titik (0,-3) dan (6,0)
garis $ m : \, 3x + 2y = 6 \rightarrow $ melalui titik (0,3) dan (2,0)
Jadi solusinya titik A (3, -1.5), sehingga $a=3$ dan $b=-1,5$.
Sehingga nilai $ a + b = 3 + (-1,5) = 1,5 = 1\frac{1}{2} $
Jadi, nilai $ a + b = 1\frac{1}{2} $

4). Diketahui SPLDV berikut:
$ \left\{ \begin{array}{c} (a-1)x + y = 1 \\ 6x + 3y = 7 \end{array} \right. $
Agar SPLDV mempunyai tepat satu solusi, tentukan nilai $a$?
Penyelesaian :
Syarat mempunyai tepat satu solusi: $ \frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2} $
Sehingga $ \frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2} \rightarrow \frac{a-1}{6} \neq \frac{1}{3} \rightarrow 3(a-1) \neq 6 \rightarrow a \neq 3 $
Jadi agar mempunyai tepat satu solusi, nilai $a$ tidak boleh 3 ($a \neq 3$).

5). Diketahui SPLDV berikut:
$ \left\{ \begin{array}{c} (a-1)x + 3y = 0 \\ 2x + (a-1)y = 7 \end{array} \right. $
Agar solusi SPLDV di atas tidak hanya (0,0), tentukan nilai $ a^2 - 2a + 10 $ ?
Penyelesaian :
Solusi tidak hanya (0,0) , artinya banyak solusi.
Syarat banyak solusi: $ \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2} $
Sehingga $ \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \rightarrow \frac{a-1}{2} = \frac{3}{a-1} \rightarrow (a-1)^2 = 6 \rightarrow a^2 - 2a + 1 = 6 \rightarrow a^2 - 2a = 5 $
Nilai $ a^2 - 2a + 10 = (a^2 - 2a ) + 10 = 5 + 10 = 15 $
Jadi, nilai $ a^2 - 2a + 10 = 15. $

ii). Metode Substitusi
       Langkah-langkah penyelesaian metode substitusi:
*). Nyatakan salah satu persamaan dalam bentuk $ y = ax + b \, $ atau $ x = cy + d $ .
*). Substitusikan $y$ atau $x$ pada langkah pertama ke persamaan yang lain.
*). Selesaikan peersamaan untuk memperoleh $ x = x_1 \, $ atau $ y = y_1 $ .
*). Substitusikan nilai $ x = x_1 \, $ atau $ y = y_1 \, $ ke salah satu persamaan untuk memperoleh nilai $ x = x_1 \, $ atau $ y = y_1 $ .
*). Penyelesaian adalah $(x_1,y_1)$ .

Contoh
1). Tentukan penyelesaian dari SPLDV berikut:
$ \left\{ \begin{array}{c} x - y = 3 \\ 2x + 3y = 1 \end{array} \right. $
Penyelesaian :
*). Ubahlah persamann (i), $ x - y = 3 \rightarrow x = y + 3 $
*). Substitusikan $ x = y + 3 $ ke persamaan (ii) ,
$ 2x + 3y = 1 \rightarrow 2(y+3) + 3y = 1 \rightarrow 5y + 6 = 1 \rightarrow y = -1 $
*). Substitusikan $y = -1 $ ke persamaan (i)
$ x - y = 3 \rightarrow x - (-1) = 3 \rightarrow x = 2 $
Jadi solusinya adalah (2, -1).

2). Diketahui SPLDV:
$ \left\{ \begin{array}{c} 2x + y = 4 \\ x + y = k \\ 3x + 2y = 7 \end{array} \right. $
Mempunyai penyelesaian, tentukan nilai $k$ ?
Penyelesaian :
*). SPLDV mempunyai penyelesaian, artinya nilai ($x , y$) memenuhi ketiga persamaan. Untuk memperoleh nilai ($x , y$), cukup menyelesaikan persamaan (i) dan (iii), kemudian substitusikan nilai ($x , y$) ke persamaan (ii) untuk memperoleh nilai $k$.
*). Ubah persamaan (i), $ 2x + y = 4 \rightarrow y = 4 - 2x $
*). Substitusikan $ y = 4 - 2x $ ke persamaan (iii),
$ 3x + 2y = 7 \rightarrow 3x + 2(4-2x) = 7 \rightarrow 3x + 8 - 4x = 7 \rightarrow x = 1 $
*). Substitusikan $x = 1$ ke persamaan (i),
$ 2x + y = 4 \rightarrow 2 . 1 + y = 4 \rightarrow y = 4- 2 = 2 $
*). Penyelesaian SPLDV adalah (1, 2), solusi ini juga terpenuhi untuk persamaan (ii):
$ x + y = k \rightarrow 1 + 2 = k \rightarrow k = 3 $
Jadi, nilai $ k = 3 $

iii). Metode Eliminasi
       Langkah-langkah penyelesaian metode eliminasi:
*). Samakan koefisien $x$ atau $y$ dengan cara mengalikan konstanta yang sesuai.
*). Jumlahkan (jika tanda kedua koefisien berbeda) atau kurangkan (jika tanda kedua koefisien sama) sehingga diperoleh $ x = x_1 \, $ atau $ y = y_1 $ .
*). Lakukan hal yang sama untuk variabel yang lainnya.
*). Penyelesaian adalah $(x_1,y_1)$ .

Contoh
1). Tentukan penyelesaian dari SPLDV berikut:
$ \left\{ \begin{array}{c} x + 2y = 1 \\ 3x - y = 10 \end{array} \right. $
Penyelesaian :
*). Eliminasi variabel $ x $
$\begin{array}{c|c|cc} x + 2y = 1 & \text{kali 3} & 3x + 6y = 3 & \\ 3x - y = 10 & \text{kali 1} & 3x - y = 10 & - \\ \hline & & 7y = -3 & \\ & & y = -1 & \end{array} $
*). Eliminasi variabel $ y $
$\begin{array}{c|c|cc} x + 2y = 1 & \text{kali 1} & x + 2y = 1 & \\ 3x - y = 10 & \text{kali 2} & 6x - 2y = 20 & + \\ \hline & & 7x = 21 & \\ & & x = 3 & \end{array} $
Jadi, solusinya adalah (3, -1).

2). Sistem persmaan linear:
$ \left\{ \begin{array}{c} 2x - y = 4 \\ x - 2y = -1 \\ 2ax + 3by = 12 \end{array} \right. $
Mempunyai penyelesaian jika nilai $a + b$ sama dengan ...?
Penyelesaian :
Selesaikan pers(i) dan pers(ii)
*). Eliminasi variabel $ x $
$\begin{array}{c|c|cc} 2x - y = 4 & \text{kali 1} & 2x - y = 4 & \\ x - 2y = -1 & \text{kali 2} & 2x - 4y = -2 & - \\ \hline & & 3y = 6 & \\ & & y = 2 & \end{array} $
*). Eliminasi variabel $ y $
$\begin{array}{c|c|cc} 2x - y = 4 & \text{kali 2} & 4x -2 y = 8 & \\ x - 2y = -1 & \text{kali 1} & x - 2y = -1 & - \\ \hline & & 3x = 9 & \\ & & x = 3 & \end{array} $
*). Titik (3,2) adalah solusi dari persamaan (i) dan (ii) yang juga sebagai solusi persamaan (iii), substitusikan (3,2) ke persamaan (iii):
$ 2ax + 3by = 12 \rightarrow 2a.3 + 3b.2 = 12 \rightarrow 6a + 6b = 12 \rightarrow a + b = 2 $
Jadi, nilai $ a + b = 2 $

iv). Metode Eliminasi-Substitusi (Gabungan)
       Metode ini merupakan cara terbaik untuk menyelesaikan SPLDV dan yang paling sering digunakan.
       Langkah-langkah penyelesaian metode ini:
*). Eliminasi salah satu variabel (misalnya $x$) untuk memperoleh nilai variabel pertama (nilai $y$).
*). Substitusikan nilai variabel pertama yang diperoleh untuk menentukan nilai variabel lainnya.

Contoh
1). Tentukan penyelesaian dari SPLDV berikut:
$ \left\{ \begin{array}{c} 2x + 3y = 5 \\ 3x - 2y = 1 \end{array} \right. $
Penyelesaian :
*). Eliminasi variabel $ y $
$\begin{array}{c|c|cc} 2x + 3y = 5 & \text{kali 2} & 4x + 6y = 10 & \\ 3x - 2y = 1 & \text{kali 3} & 9x - 6y = 3 & + \\ \hline & & 13x = 13 & \\ & & x = 1 & \end{array} $
*). Substitusikan $x = 1$ ke persamaan (ii) : $ 3x - 2y = 1 \rightarrow 3. 1 - 2y = 1 \rightarrow 3 - 2y = 1 \rightarrow y = 1 $
Jadi penyelesaiannya adalah (1,1).

2). Jika $a$ dan $b$ memenuhi $ \frac{3x+y+2}{x-y} = 2 \, $ dan $ \frac{x + 2y + 10 }{4x + y} = 3 $ , maka $a - b$ = ...?
Penyelesaian :
*). Sederhanakan kedua bentuk persamaan di atas:
pers(i): $ \frac{3x+y+2}{x-y} = 2 \rightarrow 3x+y+2 = 2x - 2y \rightarrow x + 3y = -2 $
pers(ii): $ \frac{x + 2y + 10 }{4x + y} = 3 \rightarrow x+2y+10=12x+3y \rightarrow 11x + y = 10 $
*). SPLDV menjadi :
$ \left\{ \begin{array}{c} x + 3y = -2 \\ 11x + y = 10 \end{array} \right. $
Penyelesaian :
*). Eliminasi variabel $ y $
$\begin{array}{c|c|cc} x + 3y = -2 & \text{kali 1} & x + 3y = -2 & \\ 11x + y = 10 & \text{kali 3} & 33x + 3y = 30 & - \\ \hline & & -32x = -32 & \\ & & x = 1 & \end{array} $
*). Substitusikan $x = 1$ ke persamaan (i):
$ x + 3y = -2 \rightarrow 1 + 3y = -2 \rightarrow y = -1 $
*). Karena solusinya $x = 1$ dan $y = -1$ , maka $a = 1$ dan $b = -1$
sehingga nilai $ a - b = 1 - (-1) = 2 $
Jadi, nilai $ a - b = 2 $ .

3). Sistem persamaan (SP) berikut:
$ \left\{ \begin{array}{c} \frac{2}{x} + \frac{1}{y} = -1 \\ \frac{1}{x} + \frac{3}{y} = 7 \end{array} \right. $
mempunyai penyelesaian ($x_0,y_0$) , tentukan nilai $ 2x_0 + 6y_0 $ ?
Penyelesaian :
*). Misalkan : $ p = \frac{1}{x} \, $ dan $ q = \frac{1}{y} $ , SP menjadi:
$ \left\{ \begin{array}{c} 2.\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = -1 \\ \frac{1}{x} + 3.\frac{1}{y} = 7 \end{array} \right. \, \, \Rightarrow \, \, \left\{ \begin{array}{c} 2p + q = -1 \\ p + 3q = 7 \end{array} \right. $
*). Eliminasi variabel $ p $
$\begin{array}{c|c|cc} 2p + q = -1 & \text{kali 1} & 2p + q = -1 & \\ p + 3q = 7 & \text{kali 2} & 2p + 6q = 14 & - \\ \hline & & -5q = -15 & \\ & & q = 3 & \end{array} $
*). Substitusikan $q = 3$ ke persamaan (i) :
$ 2p + q = -1 \rightarrow 2p + 3 = -1 \rightarrow p = -2 $
*). Dari nilai $p = \frac{1}{x}$ dan $q=\frac{1}{y}$, diperoleh nilai $x$ dan $y$ berikut:
$ p = -2 \rightarrow \frac{1}{x} = -2 \rightarrow x = -\frac{1}{2} \rightarrow x_0 = -\frac{1}{2} $
$ q = 3 \rightarrow \frac{1}{y} = 3 \rightarrow y = \frac{1}{3} \rightarrow y_0 = \frac{1}{3} $
Sehingga nilai $ 2x_0 + 6y_0 = 2.(-\frac{1}{2}) + 6. \frac{1}{3} = -1 +2 = 1 $
Jadi, nilai $ 2x_0 + 6y_0 = 1 $

Hubungan Dua Garis Lurus

         Blog Koma - Sebelumnya telah dibahas tentang "Persamaan Garis Lurus dan Grafiknya" serta "Gradien dan Menyusun Persamaan Garis Lurus". Kali ini kita akan membahas tentang hubungan dua garis lurus. Untuk memudahkan mempelajari materi ini, sebaiknya pelajari dahulu materi "Gradien". Hubungan dua garis yang akan dipelajari adalah dua garis yang sejajar (berimpit) dan tegak lurus (berpotongan).

         Hubungan dua garis lurus sangat penting untuk kita pelajari karena biasanya untuk menentukan besarnya gradien (kemiringan) suatu garis bergantung dari garis lain. Dengan mengetahui hubungan kedua garis, maka kita pasti bisa menentukan gradien masing-masing. Selain penerapannya pada garis lurus secara langsung, hubungan dua garis khususnya gradiennya juga berguna ketika kita mempelajari materi garis singgung kurva dan garis singgung lingkaran serta garis singgung pada irisan kerucut.

Hubungan Dua Garis Lurus
Macam - macam Hubungan Dua Garis Lurus
       Misalkan diketahui dua garis lurus $ ax+by=c \, $ dan $ px+qy=r \, $ . Ada beberapa hubungan yang bisa kita peroleh dari kedua garis tersebut, yaitu :

*). sejajar
       Dua garis sejajar syaratnya gradiennya sama ($m_1=m_2$).
Jika dilihat dari koefisiennya, syarat kedua garis sejajar yaitu $ \frac{a}{p} = \frac{b}{q} $ . Jika $ \frac{a}{p} = \frac{b}{q} = \frac{c}{r} \, $ , maka kedua garis tersebut berimpit. Dan jika $ \frac{a}{p} \neq \frac{b}{q} , \, $ maka kedua garis pasti berpotongan.

*). Tegak lurus
       Dua garis tegak lurus syaratnya perkalian gradien kedua garis hasilnya $ -1 \, $ atau $ m_1 \times m_2 = -1 $.
Jika dilihat dari koefisiennya, syarat dua garis tegak lurus yaitu $ \frac{a}{b} = -\frac{q}{p} $ .
Contoh :
1). Dari Persamaan garis berikut, manakah pasangan garis yang sejajar dan tegak lurus!
a. $ 2x - y = 5 $
b. $ 6x + 2y -3 = 0 $
c. $ x + 2y -7 = 0 $
d. $ -4x + 2y = 1 $
e. $ -x + 3y - 7 = 0 $
Penyelesaian :
*). Kita tentukan gradien masing-masing
Konsep : $ ax+by=c \rightarrow m = -\frac{\text{koefisien } x }{\text{koefisien } y } = - \frac{a}{b} $
a. $ 2x - y = 5 \rightarrow m = -\frac{\text{koefisien } x }{\text{koefisien } y } = - \frac{2}{-1} = 2 $
b. $ 6x + 2y -3 = 0 \rightarrow m = -\frac{\text{koefisien } x }{\text{koefisien } y } = - \frac{6}{2} = -3 $
c. $ x + 2y -7 = 0 \rightarrow m = -\frac{\text{koefisien } x }{\text{koefisien } y } = - \frac{1}{2} $
d. $ -4x + 2y = 1 \rightarrow m = -\frac{\text{koefisien } x }{\text{koefisien } y } = - \frac{-4}{2} = 2 $
e. $ -x + 3y - 7 = 0 \rightarrow m = -\frac{\text{koefisien } x }{\text{koefisien } y } = - \frac{-1}{3} = \frac{1}{3} $
*). Garis yang sejajar adalah garis a dan garis d.
*). Garis yang tegak lurus adalah garis a dan c, serta garis b dan garis e.

2). Tentukan persamaan garis lurus yang melalui titik (-1,-3) dan sejajar dengan garis $ y = -3x + 5 $ !
Penyelesaian :
garis $ y = -3x + 5 \rightarrow m_1 = -3 $
*). Karena garis yang dicari sejajar dengan garis $ y = -3x + 5, \, $ maka gradiennya sama, sehingga gradien garis yang dicari adalah $ m = m_1 = -3 $
*). Menyusun persamaan garis lurusnya
garis melalui titik $(x_1,y_1) =(-1,-3) \, $ dan gradien $ m = -3 $
$ \begin{align} y - y_1 & = m(x-x_1) \\ y - (-3) & = -3(x-(-1)) \\ y + 3 & = -3(x+1) \\ y + 3 & = -3x - 3 \\ y & = -3x - 6 \end{align} $
Jadi, persamaan garisnya adalah $ y = -3x - 6 $


3). Tentukan persamaan garis lurus yang melalui titik (-1,-3) dan tegak lurus dengan garis $ y = -3x + 5 $ !
Penyelesaian :
garis $ y = -3x + 5 \rightarrow m_1 = -3 $
*). Karena garis yang dicari tegak lurus dengan garis $ y = -3x + 5, \, $ maka $ m_1.m_2 = -1 \rightarrow -3. m_2 = -1 \rightarrow m_2 = \frac{1}{3} \, $ . artinya gradien garis yang kita cari adalah $ m = \frac{1}{3} $
*). Menyusun persamaan garis lurusnya
garis melalui titik $(x_1,y_1) =(-1,-3) \, $ dan gradien $ m = \frac{1}{3} $
$ \begin{align} y - y_1 & = m(x-x_1) \\ y - (-3) & = \frac{1}{3}(x-(-1)) \\ y + 3 & = \frac{1}{3}(x+1) \\ 3y + 9 & = x + 1 \\ x - 3y & = 8 \end{align} $
Jadi, persamaan garisnya adalah $ x - 3y = 8 $

4). Diketahui garis $ (p+1)x - 3y = 3 $ tegak lurus dengan garis $ 2x + (2p - 1)y + 3 = 0 , \, $ tentukan nilai $ 4p - 1 $
Penyelesaian :
*). Menentukan gradien masing-masing
$ (p+1)x - 3y = 3 \rightarrow m_1 = -\frac{\text{koefisien } x }{\text{koefisien } y } = - \frac{p+1}{-3} = \frac{p+1}{3} $
$ 2x + (2p - 1)y + 3 = 0 \rightarrow m_2 = -\frac{\text{koefisien } x }{\text{koefisien } y } = - \frac{2}{2p-1} $
*). Syarat dua garis tegak lurus : $ m_1.m_2 = -1 $
$ \begin{align} m_1.m_2 & = -1 \\ \left( \frac{p+1}{3} \right) . \left( - \frac{2}{2p-1} \right) & = -1 \\ \left( \frac{2p+2}{6p - 3} \right) & = 1 \\ 2p + 2 & = 6p - 3 \\ 6p - 2p & = 2 + 3 \\ 4p & = 5 \\ p & = \frac{5}{4} \end{align} $
Sehingga nilai $ 4p - 1 = 4. \frac{5}{4} - 1 = 5 - 1 = 4 $
Jadi, nilai $ 4p-1 = 4 $

Besarnya sudut antara Dua Garis Lurus
       Misalkan diketahui dua garis lurus $ ax+by=c \, $ dan $ px+qy=r \, $ yang masing-masing memiliki gradien $ m_1 \, $ dan $ m_2 . \, $ Besarnya sudut antara kedua garis adalah $ \alpha , \, $ yang dapat ditentukn dengan rumus :
              $ \tan \alpha = \frac{m_1 - m_2}{1+m_1.m_2 } $
Contoh :
Tentukan besarnya sudut yang dibentuk oleh kedua garis $ y = \sqrt{3}x + 3 \, $ dan garis $ y = -\sqrt{3}x + 7 $ !
Penyelesaian :
*). Menentukan gradien masing-masing
$ y = \sqrt{3}x + 3 \rightarrow m_1 = \sqrt{3} $
$ y = -\sqrt{3}x + 7 \rightarrow m_2 = -\sqrt{3} $
*). Menentukan besar sudut kedua garis
$ \begin{align} \tan \alpha & = \frac{m_1 - m_2}{1+m_1.m_2 } \\ & = \frac{\sqrt{3} - (-\sqrt{3})}{1+\sqrt{3}.(-\sqrt{3}) } \\ & = \frac{2\sqrt{3}}{1+ (-3) } \\ & = \frac{2\sqrt{3}}{-2} \\ \tan \alpha & = -\sqrt{3} \end{align} $
Diperoleh $ \tan \alpha = - \sqrt{3} \, $ , berdasarkan tabel trigonometri maka diperoleh $ \alpha = 120^\circ $
Atau sudut terkecil kedua garis adalah $ 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ $
Jadi, besar sudut yang dibentuk oleh kedua garis adalah $ 60^\circ $ .

Menentukan perpotongan dua garis lurus
       Untuk menentukan titik potong dua buah garis, bisa dilakukan dengan teknik eliminasi dan substitusi. Silahkan baca materi "Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV)"
Contoh
Tentukan persamaan garis lurus yang melalui perpotongan garis $ 3x - y = 2 \, $ dan garis $ 2x + y = 3 \, $ serta tegak lurus dengan garis $ x - 3y + 2 = 0 $ !
Penyelesaian :
*). Menentukan titik potong kedua garis dengan eliminasi dan substitusi
$\begin{array}{cc} 3x - y = 2 & \\ 2x + y = 3 & + \\ \hline 5x = 5 & \\ x = 1 & \end{array} $
Pers(ii) : $ 2x + y = 3 \rightarrow 2 . 1 + y = 3 \rightarrow y = 3 - 2 = 1 $
Sehingga titik potong kedua garis adalah (1,1)
*). Menentukan gradien
$ x - 3y + 2 = 0 \rightarrow m_1 = -\frac{\text{koefisien } x }{\text{koefisien } y } = - \frac{1}{-3} = \frac{1}{3} $
*). Karena garis yang dicari tegak lurus dengan garis $ x - 3y + 2 = 0, \, $ maka $ m_1.m_2 = -1 \rightarrow \frac{1}{3}. m_2 = -1 \rightarrow m_2 = -3 $ . artinya gradien garis yang kita cari adalah $ m = -3 $
*). Menyusun persamaan garis lurusnya
garis melalui titik $(x_1,y_1) =(1,1) \, $ dan gradien $ m = -3 $
$ \begin{align} y - y_1 & = m(x-x_1) \\ y - 1 & = -3(x-1) \\ y - 1 & = -3x + 3 \\ 3x + y & = 4 \end{align} $
Jadi, persamaan garisnya adalah $ 3x + y = 4 $

Gradien dan Menyusun Persamaan Garis Lurus

         Blog Koma - Untuk artikel kali ini kita akan membahas materi Gradien dan Menyusun Persamaan Garis Lurus, dimana sebelumnya telah kita bahas materi tentang bentuk umum persamaan garis lurus dan grafiknya yang berupa garis lurus. Jika sobat belum membacanya, silahkan kunjungi artikel "Persamaan Garis Lurus dan Grafiknya". Pada materi kali ini, kita akan bagi materinya menjadi tiga bagian yaitu membahas tentang gradien terlebih dahulu kemudian membahas tentang cara menyusun persamaan garis lurus yang diketahui dari berbagai kondisi serta membahas tentang konsep jarak dan tiga titik yang terletak pada satu garis lurus. Langsung saja berikut materinya,
Gradien persamaan garis lurus
Pengertian dan cara menentukan gradien suatu garis lurus
       Gradien suatu garis lurus merupakan ukuran kemiringan suatu garis terhadap garis horizontal. Gradien suatu garis bisa bernilai positif dan negatif. Suatu garis akan bergradien positif jika garisnya naik dari kiri ke kanan dan garis akan bergradien negatif jika garisnya turun dari kiri ke kanan. Gradien suatu garis lurus biasanya disimbolkan dengan huruf $ m $
Rumus umum kemiringan atau gradien suatu garis lurus :







Cara Menentukan nilai Gradien garis lurus :
*). Gradien garis melalui dua buah titik ($x_1,y_1$) dan ($x_2,y_2$)
Rumus gradien ($m$) : $ m = \frac{\text{Selisih } y }{\text{selish } x } = \frac{y_1 - y_2}{x_1 - x_2} \, $ atau $ m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} $
*). Diketahui persamaan garisnya :
       *). $ y = ax + b \rightarrow m = a $
       *). $ ax+by=c \rightarrow m = -\frac{\text{koefisien } x }{\text{koefisien } y } = - \frac{a}{b} $
*). Diketahui grafiknya (garis pada diagram cartesius)
Garis melalui titik ($x_1,y_1) = (0,a$) dan ($x_2,y_2) = (b,0$), gradiennya :
gradien : $ m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{0 - a}{b - 0} = - \frac{a}{b} \, $ atau $ \, m = - \frac{\text{nilai pada } y}{\text{nilai pada } x} $
*). Diketahui besarnya sudut terhadap sumbu X positif
Misalkan besar sudutnya sebesar $ \alpha , \, $ maka gradiennya : $ m = \tan \alpha $
Contoh
1). Suatu garis lurus melalui titik (2,1) dan (-3, 5). Tentukan nilai gradiennya.!
Penyelesaian :
*). Garis melalui titik $(x_1,y_1) = (2,1) \, $ dan $ (x_2,y_2) = (-3,5) $
*). Menentukan besarnya gradien
$ \begin{align} m & = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \\ & = \frac{5 - 1}{(-3) - 2} \\ & = \frac{4}{-5} \\ & = - \frac{4}{5} \end{align} $
Diperoleh gradien garisnya adalah $ - \frac{4}{5} \, $ . Karena gradiennya negatif, maka garis tersebut menurun dari kiri ke kanan.

2). Tentukan besarnya gradien dari persamaan garis berikut ini !
a. $ y = 2x - 3 $
b. $ 3x + 2y = 2 $
c. $ 5y - 2x + 5 = 0 $
d. $ y = \frac{-3x+5}{2} $
Penyelesaian :
a. $ y = 2x - 3 $
berdasarkan $ y = ax + b \rightarrow m = a , \, $ maka $ y = 2x - 3 \rightarrow m = 2 $
b. $ 3x + 2y = 2 $
Cara I : menggunakan $ y = ax + b \rightarrow m = a $
$ 3x + 2y = 2 \rightarrow 2y = -3x + 2 \rightarrow y = -\frac{3}{2}x + 1 \rightarrow m = -\frac{3}{2} $
Cara II : $ ax+by=c \rightarrow m = -\frac{\text{koefisien } x }{\text{koefisien } y } = - \frac{a}{b} $
$ 3x + 2y = 2 \rightarrow m = -\frac{\text{koefisien } x }{\text{koefisien } y } = -\frac{3}{2} $
c. $ 5y - 2x + 5 = 0 $
Cara I : menggunakan $ y = ax + b \rightarrow m = a $
$ 5y - 2x + 5 = 0 \rightarrow 5y = 2x - 5 \rightarrow y = \frac{2}{5}x - 1 \rightarrow m = \frac{2}{5} $
Cara II : $ ax+by=c \rightarrow m = -\frac{\text{koefisien } x }{\text{koefisien } y } = - \frac{a}{b} $
$ 5y - 2x + 5 = 0 \rightarrow m = -\frac{\text{koefisien } x }{\text{koefisien } y } = -\frac{-2}{5} = \frac{2}{5} $
a. $ y = \frac{-3x+5}{2} $
berdasarkan $ y = ax + b \rightarrow m = a , \, $ maka $ y = \frac{-3x+5}{2} = -\frac{3}{2}x + \frac{5}{2} \rightarrow m = -\frac{3}{2} $

3). Dari garis berikut ini, tentukan gradiennya. !
Penyelesaian :
*). Gambar 1.
gradiennya : $ m = - \frac{\text{nilai pada } y}{\text{nilai pada } x} = -\frac{4}{2} = -2 $
*). Gambar 2.
gradiennya : $ m = - \frac{\text{nilai pada } y}{\text{nilai pada } x} = -\frac{-1}{2} = \frac{1}{2} $

4). Suatu garis membentuk sudut $ 45^\circ \, $ terhadap sumbu X positif, tentukan besarnya gradien garis tersebut!
Penyelesaian :
Gradiennya : $ m = \tan 45^\circ = 1 $
Untuk nilai $ \tan 45^\circ \, $ bisa kita lihat pada tabel trigonometri.

Menyusun persamaan garis lurus (PGL)
Cara Menyusun atau Menentukan persamaan garis lurus (PGL)
       Berikut cara Menyusun persamaan garis lurus,
*). Garis melalui dua titik ($x_1,y_1$) dan ($x_2,y_2$)
       PGL : $ \frac{y-y_1}{y_2-y_1} = \frac{x-x_1}{x_2-x_1} $
*). Garis melalui satu titik ($x_1,y_1$) dan diketahui gradiennya ($m$)
       PGL : $ y - y_1 = m(x-x_1) $
*). Diketahui garisnya
Garis melalui dua titik ($x_1,y_1) = (0,a$) dan ($x_2,y_2) = (b,0$), sehingga
PGL : $ \frac{y-y_1}{y_2-y_1} = \frac{x-x_1}{x_2-x_1} \rightarrow \frac{y-a}{0-a} = \frac{x-0}{b-0} \rightarrow ax + by = ab $

Contoh :
1). Tentukan persamaan garis lurus yang melalui titik (1,-2) dan (3,4) !
Penyelesaian :
*). Garis melalui titik ($x_1,y_1) = (1,-2$) dan ($x_2,y_2) = (3,4$)
*). Menentukan persamaan garisnya
$ \begin{align} \frac{y-y_1}{y_2-y_1} & = \frac{x-x_1}{x_2-x_1} \\ \frac{y-(-2)}{4-(-2)} & = \frac{x-1}{3-1} \\ \frac{y+2}{6} & = \frac{x-1}{2} \, \, \, \, \text{(kali 2)} \\ \frac{y+2}{3} & = \frac{x-1}{1} \, \, \, \, \text{(kali silang)} \\ y+2 & = 3x - 3 \\ y & = 3x - 5 \end{align} $
Jadi, persamaan garisnya adalah $ y = 3x - 5 $

2). Suatu garis memiliki gradien 2 dan melalui titik (2,3), tentukan persamaan garis tersebut!
Penyelesaian :
*). Diketahui $(x_1,y_1) = (2,3) \, $ dan $ m = 2 $
*). Menyusun persamaan garisnya
$ \begin{align} y - y_1 & = m(x-x_1) \\ y - 3 & = 2(x-2) \\ y - 3 & = 2x - 4 \\ y & = 2x - 4 + 3 \\ y & = 2x - 1 \end{align} $
Jadi, persamaan garis lurusnya adalah $ y = 2x - 1 $

3). Dari grafik berikut ini, tentukanlah persamaan garisnya !
Penyelesaian :
*). Gambar 1.
Pgl : $ ax + by = ab \rightarrow 4x + 2y = 4 \times 2 \rightarrow 4x + 2y = 8 $
*). Gambar 2.
Pgl : $ ax + by = ab \rightarrow -1.x + 2y = -1 \times 2 \rightarrow -x + 2y = -2 $

4). Suatu garis melalui titik (1,2), (3,1), ($0,p$), dan ($2,q$). Tentukan nilai $ 2p + 4q $ !
Penyelesaian :
*). Kita cari persamaan garisnya yang melalui titik (1,2) dan (3,1)!
$ \begin{align} \frac{y-y_1}{y_2-y_1} & = \frac{x-x_1}{x_2-x_1} \\ \frac{y-2}{1-2} & = \frac{x-1}{3-1} \\ \frac{y-2}{-1} & = \frac{x-1}{2} \\ 2y - 4 & = -x + 1 \\ x + 2y & = 5 \end{align} $
*). Menentukan nilai $ p \, $ dan $ q \, $ dengan cara substitusi ke PGL
$ \begin{align} (x,y)=(0,p) \rightarrow x + 2y & = 5 \\ 0 + 2p & = 5 \\ p & = \frac{5}{2} \\ (x,y)=(2,q) \rightarrow x + 2y & = 5 \\ 2 + 2q & = 5 \\ 2q & = 3 \\ q & = \frac{3}{2} \end{align} $
*). Menentukan nilai $ 2p + 4q $
$ 2p + 4q = 2. \frac{5}{2} + 4 . \frac{3}{2} = 5 + 6 = 11 $
Jadi, nilai $ 2p + 4q = 11 $ .

Konsep Jarak pada garis lurus
Jarak dan Tiga titik yang terletak pada garis lurus
*). Jarak titik A($x_1,y_1$) dengan titik B($x_2,y_2$) :
       Jarak = $ \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2} $
*). Jarak titik A($x_1,y_1$) dengan garis $ ax+by+c = 0 $
       Jarak = $ \left| \frac{a.x_1 + b.y_1 +c}{\sqrt{a^2 + b^2} }\right| $
*). Jarak dua garis yang sejajar antara $ ax+by+c_1 = 0 \, $ dengan $ ax+by+c_2 = 0 $
       Jarak = $ \left| \frac{c_2 - c_1}{\sqrt{a^2+b^2}} \right| $
Catatan : Jika dua garis tersebut tidak sejajar, pasti kedua garis tersebut berpotongan, sehingga jaraknya pasti nol.

*). Tiga titik $(x_1,y_1), \, (x_2,y_2), \, (x_3,y_3) \, $ terletak pada satu garis
       jika memenuhi : $ \frac{y_3-y_1}{y_2-y_1} = \frac{x_3-x_1}{x_2-x_1} $
Contoh :
1). Tentukan besarnya jarak dari
a). titik A(2,-1) dengan titik B(-1,3)
b). titik P(2,3) dengan garis $ 3x + 4y - 3 = 0 $
c). garis $ 4x - 3y + 4 = 0 $ dengan garis $ -8x + 6y + 2 = 0 $
Penyelesaian :
a). Jarak titik A($x_1,y_1) = (2,-1$) dengan B($x_2,y_2) = (-1,3$)
$ \begin{align} \text{Jarak } & = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2} \\ & = \sqrt{(-1 - 2)^2 + (3-(-1))^2} \\ & = \sqrt{(-3)^2 + (4)^2} \\ & = \sqrt{9 + 16} \\ & = \sqrt{25} \\ & = 5 \end{align} $
Jadi, jarak kedua titik adalah 5 satuan.
b). Jarak titik P($x_1,y_1) = (2,3$) dengan garis $ 3x + 4y - 3 = 0 $
$ \begin{align} \text{Jarak } & = \left| \frac{a.x_1 + b.y_1 +c}{\sqrt{a^2 + b^2} }\right| \\ & = \left| \frac{3.2 + 4.3 - 3}{\sqrt{3^2 + 4^2} }\right| \\ & = \left| \frac{6 + 12 - 3}{\sqrt{25} }\right| \\ & = \left| \frac{15}{5}\right| \\ & = 3 \end{align} $
Jadi, jarak titik dan garisnya adalah 3 satuan.
c). Cek apakah kedua garis sejajar dengan cara cek apakah gradiennya sama.
Untuk materi dua garis sejajar, silahkan baca artikel "Hubungan Dua Garis Lurus".
$ 4x - 3y + 4 = 0 \rightarrow m_1 = -\frac{\text{koefisien } x }{\text{koefisien } y } = - \frac{4}{-3} = \frac{4}{3} $
$ -8x + 6y + 2 = 0 \rightarrow m_2 = -\frac{\text{koefisien } x }{\text{koefisien } y } = - \frac{-8}{6} = \frac{4}{3} $
Karena kedua garis memiliki gradien yang sama, maka kedua garis sejajar.
*). Menyamakan nilai koefisien $ x \, $ dan $ y $
$ -8x + 6y + 2 = 0 \, \, \, \text{(bagi -2) } \rightarrow 4x - 3y - 1 = 0 $
*). Jarak garis $ 4x - 3y + 4 = 0 \rightarrow c_1 = 4 \, $ dengan $ 4x - 3y - 1 = 0 \rightarrow c_2 = -1 $
Jarak = $ \left| \frac{c_2 - c_1}{\sqrt{a^2+b^2}} \right| = \left| \frac{-1 - 4}{\sqrt{4^2+(-3)^2}} \right| = \left| \frac{-5}{\sqrt{25}} \right| = \left| \frac{-5}{5} \right| = | -1 | = 1 $
Jadi, jarak kedua garis adalah 1 satuan.

2). Jika titik A(2,1), B(3,-5), dan C($a,-1$) terletak pada satu garis, tentukan nilai $ a $ !
Penyelesaian :
*). Titik $(x_1,y_1) = (2,1), \, (x_2,y_2) = (3,-5), \, (x_3,y_3) = (a,-1) \, $
*). Menentukan nilai $ a \, $ dari syarat segaris
$\begin{align} \frac{y_3-y_1}{y_2-y_1} & = \frac{x_3-x_1}{x_2-x_1} \\ \frac{-1 - 1}{-5-1} & = \frac{a-2}{3-2} \\ \frac{-2}{-6} & = \frac{a-2}{1} \\ \frac{1}{3} & = \frac{a-2}{1} \\ a - 2 & = \frac{1}{3} \\ a & = \frac{1}{3} + 2 \\ a & = \frac{7}{3} \end{align} $
Jadi, nilai $ a = \frac{7}{3} $